Cykloida je transcendentní cyklická křivka, kterou vytvoří bod pevně spojený s kružnicí, která se valí (kutálí) po přímce.

Cykloida má tvar donekonečna se opakujících oblouků.

Pokud bod pevně spojený s kružnicí leží na jejím obvodu, pak při valení této kružnice po přímce opisuje tento bod prostou (obecnou, obyčejnou) cykloidu.

Prostou cykloidu lze vyjádřit parametricky:

👁 {\displaystyle x=a(t-\sin t)}
,

👁 {\displaystyle y=a(1-\cos t)}
,

kde 👁 {\displaystyle a}
je poloměr kružnice a parametr 👁 {\displaystyle t}
je úhel otočení kutálející se kružnice.

První, resp. druhou polovinu prvního oblouku prosté cykloidy lze vyjádřit v explicitním tvaru

👁 {\displaystyle x=a\arccos {\frac {a-y}{a}}-{\sqrt {y(2a-y)}}}

pro 👁 {\displaystyle x\in \langle 0,\pi a\rangle }
, resp.

👁 {\displaystyle x=a\left(2\pi -\arccos {\frac {a-y}{a}}\right)+{\sqrt {y(2a-y)}}}

pro 👁 {\displaystyle x\in \langle \pi a,2\pi a\rangle }
.

Perioda cykloidy je 👁 {\displaystyle 2\pi a}
.

Délka oblouku dané větve prosté cykloidy od hrotu do bodu 👁 {\displaystyle [x(t),y(t)]}
pro 👁 {\displaystyle t\in \langle 0,2\pi \rangle }
je

👁 {\displaystyle s=4a\left(1-\cos {\frac {t}{2}}\right)}
.

Dosazením periody získáme pro délku jedné větve prosté cykloidy výraz

👁 {\displaystyle s=8a}
.

Obsah plochy ohraničené jednou větví prosté cykloidy je

👁 {\displaystyle S=3\pi a^{2}}
.

Poloměr křivosti v bodě různém od hrotu prosté cykloidy je

👁 {\displaystyle R=4a\left|\sin {\frac {t}{2}}\right|}
,

takže poloměr křivosti ve vrcholu je maximální:

👁 {\displaystyle R=4a}
.

Nejjednodušší přirozená rovnice prosté cykloidy je

👁 {\displaystyle R^{2}+s^{2}=16a^{2},s\in \langle -4a,+4a\rangle ,}

kde však oblouk 👁 {\displaystyle s}
počítáme od vrcholu.

Evolutou cykloidy je shodná cykloida, která je ve směru osy 👁 {\displaystyle x}
posunuta o 👁 {\displaystyle \pi a}
souhlasně s původní cykloidou a ve směru osy 👁 {\displaystyle y}
je posunuta o 👁 {\displaystyle 2a}
nesouhlasně s orientací původní cykloidy.

Pokud bod pevně spojený s kutálející se kružnicí neleží na obvodu této kružnice, ale jeho vzdálenost od středu kružnice o poloměru 👁 {\displaystyle a}
je 👁 {\displaystyle d}
, pak pro 👁 {\displaystyle d<a}
získáme cykloidu zkrácenou a pro 👁 {\displaystyle d>a}
cykloidu prodlouženou.

Parametrické rovnice zkrácené, resp. prodloužené cykloidy lze zapsat ve tvaru

👁 {\displaystyle x=at-d\sin t}

👁 {\displaystyle y=a-d\cos t}

• Prostá cykloida má nekonečně mnoho hrotů.
• Všechny prosté cykloidy mají stejný tvar, jsou podobné.
• Zkrácená cykloida má nekonečně mnoho inflexních bodů.
• Prodloužená cykloida má nekonečně mnoho uzlů (dvojných bodů).
• Oblouk cykloidy snese ze všech oblouků největší zatížení, proto mnoho oblouků mostů má právě její tvar.
• Část cykloidy je řešením úlohy o brachistochroně

• Cyklická křivka
• Brachistochrona

• 👁 Image
  Obrázky, zvuky či videa k tématu Cykloida na Wikimedia Commons
• Jak vyrobit brachistochronu (video)
• Cykloidy v Cabri Archivováno 22. 9. 2005 na Wayback Machine.
• Cyklické pohyby (teorie, obrázky v Gnuplotu)