Eigenraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra. Er bezeichnet die lineare Hülle der Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert eines Endomorphismus. Die Eigenvektoren – zusammen mit dem Nullvektor – spannen damit einen Untervektorraum auf.

Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum. Hat ein Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1, so sind für diesen Eigenwert Eigenraum und Hauptraum gleich.

Sei 👁 {\displaystyle V}
ein Vektorraum über einem Körper 👁 {\displaystyle K}
und 👁 {\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} (V)}
ein Endomorphismus, das heißt eine lineare Abbildung 👁 {\displaystyle \varphi \colon V\to V}
. Der Eigenraum 👁 {\displaystyle E(\lambda )}
zum Eigenwert 👁 {\displaystyle \lambda }
von 👁 {\displaystyle \varphi }
ist dann

👁 {\displaystyle {\begin{aligned}E(\lambda )&:=\operatorname {Kern} (\varphi -\lambda \operatorname {id} _{V})\\&=\left\{v\in V\mid \varphi (v)=\lambda v\right\}\\&=\left\{v\in V\mid v\neq 0,\ \varphi (v)=\lambda v\right\}\cup \left\{0\right\}\end{aligned}}}

Dabei bezeichnet 👁 {\displaystyle \operatorname {id} _{V}}
die Identitätsabbildung auf 👁 {\displaystyle V}
. Mit anderen Worten, 👁 {\displaystyle E\left(\lambda \right)}
ist die lineare Hülle der zu 👁 {\displaystyle \lambda }
gehörigen Eigenvektoren.

Man sagt dann auch, 👁 {\displaystyle E\left(\lambda \right)\subseteq V}
ist invariant bezüglich des Endomorphismus 👁 {\displaystyle \varphi }
oder 👁 {\displaystyle E\left(\lambda \right)}
ist ein 👁 {\displaystyle \varphi }
-invarianter Untervektorraum von 👁 {\displaystyle V}
. Die Elemente 👁 {\displaystyle v}
von 👁 {\displaystyle E\left(\lambda \right)}
sind dann die Eigenvektoren zum Eigenwert 👁 {\displaystyle \lambda }
von 👁 {\displaystyle \varphi }
, sowie der Nullvektor.

Die Dimension des Eigenraums 👁 {\displaystyle E\left(\lambda \right)}
wird als geometrische Vielfachheit von 👁 {\displaystyle \lambda }
bezeichnet. Sie ist dabei stets mindestens 1 und höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit von 👁 {\displaystyle \lambda }
. Wenn die Dimension des Eigenraums 👁 {\displaystyle E\left(\lambda \right)}
größer als 1 ist, wird der Eigenwert entartet genannt, anderenfalls heißt er nichtentartet.

• Existiert ein Eigenwert 👁 {\displaystyle \lambda =0}
  von 👁 {\displaystyle \varphi }
  , so ist der zugehörige Eigenraum 👁 {\displaystyle E\left(\lambda \right)}
  gleich dem Kern von 👁 {\displaystyle \varphi }
  . Denn 👁 {\displaystyle \operatorname {Kern} \left(\varphi \right)=\left\{x\in V\mid \varphi \left(x\right)=0\right\}}
  und nach Definition des Eigenraumes: 👁 {\displaystyle E\left(0\right)=\left\{x\in V\mid \varphi \left(x\right)=0x=0\right\}}
  .

• Die Summe von Eigenräumen zu 👁 {\displaystyle n}
  paarweise verschiedenen Eigenwerten 👁 {\displaystyle \lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{n}}
  von 👁 {\displaystyle \varphi }
  ist direkt:

👁 {\displaystyle E(\lambda _{1})+\dots +E(\lambda _{n})=E(\lambda _{1})\oplus \dots \oplus E(\lambda _{n})}

• Gilt im obigen Fall 👁 {\displaystyle E(\lambda _{1})+\dots +E(\lambda _{n})=V}
  , so besitzt 👁 {\displaystyle V}
  eine Basis aus Eigenvektoren von 👁 {\displaystyle \varphi }
  . In diesem Fall ist jede Darstellungsmatrix 👁 {\displaystyle A}
  von 👁 {\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} \left(V\right)}
  bezüglich einer Basis von 👁 {\displaystyle V}
  diagonalisierbar, das heißt die Darstellungsmatrix 👁 {\displaystyle A'}
  von 👁 {\displaystyle \varphi }
  bezüglich einer Basis von 👁 {\displaystyle V}
  aus Eigenvektoren von 👁 {\displaystyle \varphi }
  hat Diagonalgestalt. In der Hauptdiagonale von 👁 {\displaystyle A'}
  stehen dann die Eigenwerte von 👁 {\displaystyle \varphi }
  :

👁 {\displaystyle A'={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}}

• Ist 👁 {\displaystyle V}
  ein Prähilbertraum und 👁 {\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} (V)}
  selbstadjungiert, so sind die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten paarweise zueinander orthogonal.

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 17. aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4, (Studium. Grundkurs Mathematik).