Das Falksche Schema (benannt nach dem deutschen Ingenieur Sigurd Falk) ist eine Tabelle, die eine optische Hilfe bei der schriftlichen Matrizenmultiplikation bietet. Der linke Faktor, die 👁 {\displaystyle (m\times r)}
-Matrix, wird links von der 👁 {\displaystyle (m\times n)}
-Ergebnismatrix und der rechte Faktor, die 👁 {\displaystyle (r\times n)}
-Matrix, wird oberhalb der Ergebnismatrix platziert. Wo sich die 👁 {\displaystyle i}
-te Zeile des linken Multiplikanden und die 👁 {\displaystyle j}
-te Spalte des rechten Multiplikanden kreuzen, wird das entsprechende Skalarprodukt eingetragen.

Gegeben sind die Matrizen

👁 {\displaystyle A=\left({\begin{array}{r}1&4\\2&5\\3&-6\end{array}}\right)}
und 👁 {\displaystyle B=\left({\begin{array}{r}-1&1\\1&-2\\\end{array}}\right)}
.

Dann sieht das Falksche Schema zur Berechnung der Produktmatrix 👁 {\displaystyle C=A\cdot B}
wie folgt aus:

👁 {\displaystyle {\begin{array}{c}&\left({\begin{array}{r}-1&1\\1&-2\end{array}}\right)\\\left({\begin{array}{r}1&4\\2&5\\3&-6\end{array}}\right)&\left({\begin{array}{r}3&-7\\3&-8\\-9&15\end{array}}\right)\end{array}}}

Hierbei steht die Produktmatrix 👁 {\displaystyle C}
unten rechts.

Zunächst werden die Matrizen höhenversetzt nebeneinander geschrieben (in der ursprünglichen Ausrichtung, also ohne Kippen oder Drehen). Man erkennt bereits anhand des Schemas, dass 👁 {\displaystyle C}
eine 👁 {\displaystyle (3\times 2)}
-Matrix sein muss.

Dann werden Schritt für Schritt die Einträge von 👁 {\displaystyle C}
berechnet. Meist fängt man beim Eintrag 👁 {\displaystyle c_{11}}
an. Hierzu wird die 1. Zeile von 👁 {\displaystyle A}
mit der 1. Spalte von 👁 {\displaystyle B}
„multipliziert“. Gemeint ist damit, dass das Skalarprodukt der entsprechenden Zeile und Spalte gebildet wird: 👁 {\displaystyle 1\cdot (-1)+4\cdot 1}
. Das Ergebnis wird genau im Kreuzungspunkt der 1. Zeile von 👁 {\displaystyle A}
und der 1. Spalte von 👁 {\displaystyle B}
eingetragen.

Die erste Zeile von 👁 {\displaystyle A}
wird mit der zweiten Spalte von 👁 {\displaystyle B}
multipliziert: 👁 {\displaystyle 1\cdot 1+4\cdot (-2)}
. Das Ergebnis ist das Element 👁 {\displaystyle c_{12}=-7}
.

Analog wird mit den weiteren Zeilen verfahren. Zum Schluss wird die dritte Zeile von 👁 {\displaystyle A}
mit der zweiten Spalte von 👁 {\displaystyle B}
multipliziert: 👁 {\displaystyle 3\cdot 1+(-6)\cdot (-2)}
. Das Ergebnis ist das Element 👁 {\displaystyle c_{32}=15}
.

• Sigurd Falk: Ein übersichtliches Schema für die Matrizenmultiplikation. In: Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (ZAMM). Band31, Nr.4–5, 1951, ISSN 0044-2267, S.152–153, doi:10.1002/zamm.19510310409.
• Rudolf Zurmühl: Matrizen und ihre technischen Anwendungen. Vierte neubearbeitete Auflage. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1964, S.17 (XII, 452, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
• Rudolf Zurmühl, Sigurd Falk: Matrizen und Ihre Anwendungen: Teil 1, Grundlagen. 7. Aufl., Nachdruck in veränd. Ausstattung. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2011, ISBN 978-3-642-17542-8, S.17 (XIV, 496 S.).
• Sascha Kurz, Jörg Rambau: Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler. Kohlhammer Verlag, Stuttgart 2009, ISBN 978-3-17-019882-1, S.29–30.
• Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 4. Auflage. Band2. Vieweg + Teubner Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-9730-5, S.525–528.
• Karl-Eugen Kurrer: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium. Ernst & Sohn, Berlin 2018, ISBN 978-3-433-03229-9, S. 842 f.

• Wikibooks: Analytische Geometrie – Matrizen – Rechnen mit Matrizen – Matrizenmultiplikation
• Dankert: Verschiedene Beispiele und deren Erweiterung. HAW Hamburg, Archivlink abgerufen am 27. Februar 2022