Die Jacobi-Matrix (benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix, Ableitungsmatrix oder Jacobische genannt) einer differenzierbaren Funktion 👁 {\displaystyle f\colon {\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} ^{m}}\,\!}
ist die 👁 {\displaystyle m\times n}
-Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen. Im Falle der totalen Differenzierbarkeit bildet sie die Matrix-Darstellung der als lineare Abbildung aufgefassten ersten Ableitung der Funktion 👁 {\displaystyle f}
bezüglich der Standardbasen des 👁 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
und des 👁 {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
.

Genutzt wird die Jacobi-Matrix zum Beispiel zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

Sei 👁 {\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
eine Funktion, deren Komponentenfunktionen mit 👁 {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}
bezeichnet seien und deren partielle Ableitungen alle existieren sollen. Für einen Raumpunkt 👁 {\displaystyle x}
im Urbildraum 👁 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
seien 👁 {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
die jeweils zugehörigen Koordinaten.

Dann ist für 👁 {\displaystyle a\in U}
die Jacobi-Matrix im Punkt 👁 {\displaystyle a}
definiert durch

👁 {\displaystyle J_{f}(a):=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right)_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{pmatrix}}}
.

In den Zeilen der Jacobi-Matrix stehen also gerade die (transponierten) Gradienten der Komponentenfunktionen 👁 {\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}
von 👁 {\displaystyle f}
.

Andere übliche Schreibweisen für die Jacobi-Matrix 👁 {\displaystyle J_{f}(a)}
von 👁 {\displaystyle f}
an der Stelle 👁 {\displaystyle a}
sind 👁 {\displaystyle Df(a)}
, 👁 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(a)}
und 👁 {\displaystyle \textstyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}(a)}
.

Die Funktion 👁 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}}
sei gegeben durch

👁 {\displaystyle f(x,y,z)={\binom {x^{2}+y^{2}+z\cdot \sin x}{z^{2}+z\cdot \sin y}}}

Dann ist

👁 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y,z)&={\binom {2x+z\cdot \cos x}{0}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,z)&={\binom {2y}{z\cdot \cos y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}f(x,y,z)&={\binom {\sin x}{2z+\sin y}}\end{aligned}}}

und damit die Jacobi-Matrix

👁 {\displaystyle J_{f}(x,y,z)=\left({\begin{array}{ccc}2x+z\cdot \cos x&2y&\sin x\\0&z\cdot \cos y\,&2z+\sin y\end{array}}\right)}

• Ist die Funktion 👁 {\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
  total differenzierbar, dann ist ihr totales Differential 👁 {\displaystyle Df_{a}}
  an der Stelle 👁 {\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in U}
  die lineare Abbildung

👁 {\displaystyle Df_{a}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\quad Df_{a}(h)=J_{f}(a)\cdot h}
.

Die Jacobi-Matrix an der Stelle 👁 {\displaystyle a}
ist also die Abbildungsmatrix von 👁 {\displaystyle Df_{a}}
.

• Für 👁 {\displaystyle m=1}
  entspricht die Jacobi-Matrix dem transponierten Gradienten von 👁 {\displaystyle f}
  . Manchmal wird der Gradient auch als Zeilenvektor definiert. In diesem Fall sind Gradient und Jacobi-Matrix gleich.

• Die Jacobi-Matrix kann, wenn man sie für eine Stelle 👁 {\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}
  ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von 👁 {\displaystyle f}
  in der Nähe von 👁 {\displaystyle a}
  verwendet werden:

👁 {\displaystyle f(x)\approx f(a)+J_{f}(a)\cdot (x-a).}

Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung (Linearisierung).

• Die Fortpflanzung von Messfehlern in Form einer Kovarianzmatrix geschieht durch die Jacobi-Matrix: 👁 {\displaystyle V_{f}=J\cdot V_{x}\cdot J^{\text{T}}}
  

Sei 👁 {\displaystyle m=n}
, es wird also eine differenzierbare Funktion 👁 {\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
betrachtet. Dann ist deren Jacobi-Matrix 👁 {\displaystyle J_{f}(a)}
am Punkt 👁 {\displaystyle a\in U}
eine quadratische 👁 {\displaystyle n\times n}
-Matrix. In diesem Fall kann man die Determinante der Jacobi-Matrix 👁 {\displaystyle \det(J_{f}(a))}
bestimmen. Die Determinante der Jacobi-Matrix wird Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante genannt. Ist die Jacobi-Determinante im Punkt 👁 {\displaystyle a}
ungleich null, so ist die Funktion 👁 {\displaystyle f}
in einer Umgebung von 👁 {\displaystyle a}
invertierbar. Dies besagt der Satz von der Umkehrabbildung. Außerdem spielt die Jacobi-Determinante eine wichtige Rolle beim Transformationssatz für Integrale. Ist 👁 {\displaystyle m\neq n}
, so kann man definitionsgemäß keine Determinante der 👁 {\displaystyle m\times n}
-Jacobi-Matrix bilden. Jedoch gibt es in diesem Fall ein ähnliches Konzept. Dieses wird Gramsche Determinante genannt.

Neben Funktionen 👁 {\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
kann man auch Funktionen 👁 {\displaystyle h\colon V\subset \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}
auf (komplexe) Differenzierbarkeit untersuchen. Funktionen, die komplex differenzierbar sind, werden holomorph genannt, denn sie haben andere Eigenschaften als die (reell) differenzierbaren Funktionen. Auch für die holomorphe Funktion 👁 {\displaystyle h:=(h_{1},\ldots ,h_{m})\colon V\subset \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}
kann man Jacobi-Matrizen bestimmen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Varianten. Zum einen eine 👁 {\displaystyle m\times n}
mit komplexwertigen Einträgen und zum anderen eine 👁 {\displaystyle 2m\times 2n}
-Matrix mit reellwertigen Einträgen. Die 👁 {\displaystyle m\times n}
-Jacobi-Matrix 👁 {\displaystyle J_{h}^{\mathbb {C} }(z)}
am Punkt 👁 {\displaystyle z:=(z_{1},\ldots ,z_{n})\in V\subset \mathbb {C} ^{n}}
ist durch

👁 {\displaystyle J_{h}^{\mathbb {C} }(z):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial h_{1}(z)}{\partial z_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial h_{1}(z)}{\partial z_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h_{m}(z)}{\partial z_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial h_{m}(z)}{\partial z_{n}}}\end{pmatrix}}}

definiert.

Jede komplexwertige Funktion kann in zwei reellwertige Funktionen aufgespalten werden. Das heißt, es existieren Funktionen 👁 {\displaystyle u,v\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
, sodass 👁 {\displaystyle h=u+iv}
gilt. Die Funktionen 👁 {\displaystyle u}
und 👁 {\displaystyle v}
kann man nun wieder gewöhnlich partiell differenzieren und in einer Matrix anordnen. Seien 👁 {\displaystyle z:=(z_{1},\ldots ,z_{n})}
die Koordinaten in 👁 {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
und setze 👁 {\displaystyle z_{j}:=x_{j}+iy_{j}}
für alle 👁 {\displaystyle j}
. Die 👁 {\displaystyle 2m\times 2n}
-Jacobi-Matrix 👁 {\displaystyle J_{h}^{\mathbb {R} }(z)}
der holomorphen Funktion 👁 {\displaystyle h}
am Punkt 👁 {\displaystyle z\in V}
ist dann definiert durch

👁 {\displaystyle J_{h}^{\mathbb {R} }(z):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial y_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial y_{n}}}\\{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial y_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial y_{n}}}\end{pmatrix}}}
.

Gilt bei den Jacobi-Matrizen für holomorphe Funktionen 👁 {\displaystyle m=n}
, so kann man natürlich die Determinanten der beiden Matrizen betrachten. Diese beiden Determinanten stehen in Beziehung zueinander. Es gilt nämlich

👁 {\displaystyle \det \left(J_{h}^{\mathbb {R} }(z)\right)=\left|\det(J_{h}^{\mathbb {C} }(z))\right|^{2}}
.

• Mehrdimensionale Kettenregel
• Hesse-Matrix
• Gradient (Mathematik)

• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8. (für Jacobi-Matrizen reeller Funktionen).
• Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer-Verlag, ISBN 0-387-95395-7. (S. 30–31; für Jacobi-Matrizen holomorpher Funktionen).