Der Rayleigh-Quotient, auch Rayleigh-Koeffizient genannt, ist ein Objekt aus der linearen Algebra, das nach dem Physiker John William Strutt, 3. Baron Rayleigh benannt ist. Der Rayleigh-Quotient wird insbesondere zur numerischen Berechnung von Eigenwerten einer quadratischen Matrix 👁 {\displaystyle A}
verwendet.

Sei 👁 {\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}
eine reelle symmetrische oder komplexe hermitesche Matrix und 👁 {\displaystyle x\in {\mathbb {K} }^{n}}
mit 👁 {\displaystyle x\neq 0}
ein Vektor, dann ist der Rayleigh-Quotient von 👁 {\displaystyle A}
zum Vektor 👁 {\displaystyle x}
definiert durch^[1]

👁 {\displaystyle R_{A}(x)={\frac {x^{*}Ax}{x^{*}x}}\,.}

Hierbei bezeichnet 👁 {\displaystyle x^{*}={\overline {x}}^{T}}
den adjungierten Vektor von 👁 {\displaystyle x}
. Der Bildbereich des Rayleigh-Quotienten ist genau der numerische Wertebereich von 👁 {\displaystyle A}
.

Bei einer Multiplikation des Vektors 👁 {\displaystyle x}
mit einem Skalar 👁 {\displaystyle \alpha \neq 0}
ändert sich der Rayleigh-Quotient nicht: 👁 {\displaystyle R_{A}(\alpha x)=R_{A}(x)}
, er ist also eine homogene Funktion vom Grad 0.

Der Rayleigh-Quotient hat eine enge Beziehung zu den Eigenwerten von 👁 {\displaystyle A}
. Ist 👁 {\displaystyle v}
ein Eigenvektor der Matrix 👁 {\displaystyle A}
und 👁 {\displaystyle \lambda }
der zugehörige Eigenwert, dann gilt:

👁 {\displaystyle R_{A}(v)={\frac {v^{*}Av}{v^{*}v}}={\frac {v^{*}\lambda v}{v^{*}v}}=\lambda \,.}

Durch den Rayleigh-Quotienten wird also jeder Eigenvektor von 👁 {\displaystyle A}
auf den dazugehörigen Eigenwert 👁 {\displaystyle \lambda }
abgebildet. Diese Eigenschaft wird unter anderem in der numerischen Berechnung von Eigenwerten benutzt. Insbesondere gilt für eine symmetrische oder hermitesche Matrix 👁 {\displaystyle A}
mit dem kleinsten Eigenwert 👁 {\displaystyle \lambda _{\rm {min}}}
und dem größten Eigenwert 👁 {\displaystyle \lambda _{\rm {max}}}
nach dem Satz von Courant-Fischer:

👁 {\displaystyle \lambda _{\rm {min}}\leq R_{A}(x)\leq \lambda _{\rm {max}}\,.}

Die Berechnung des kleinsten bzw. größten Eigenwerts ist damit äquivalent zum Auffinden des Minimums bzw. Maximums des Rayleigh-Quotienten. Das lässt sich unter geeigneten Voraussetzungen auch noch auf den unendlichdimensionalen Fall verallgemeinern und ist als Rayleigh-Ritz-Prinzip bekannt.

Die Eigenvektoren hermitescher Matrizen 👁 {\displaystyle A}
bilden die stationären Punkte des Rayleigh-Quotienten. Dies gilt nicht für asymmetrische Matrizen. Deswegen führte Ostrowski 1958/59 den sogenannten 2-seitigen Rayleigh-Quotienten

👁 {\displaystyle R_{A}(x,y)={\frac {y^{*}Ax}{y^{*}x}}}

ein, wobei 👁 {\displaystyle y^{*}x\neq 0}
, der wiederum stationär an den Rechts- und Linkseigenvektoren 👁 {\displaystyle x}
und 👁 {\displaystyle y}
ist. Da für normale Matrizen Rechts- und Linkseigenvektoren übereinstimmen, fällt der 2-seitige mit dem (einseitigen) Rayleigh-Quotienten in diesem Fall zusammen.

Bei numerischen Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen, die, wie beispielsweise die Vektoriteration oder die inverse Iteration, primär Eigenvektornäherungen berechnen, lassen sich mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten zusätzlich auch Eigenwertnäherungen bestimmen. Bei der inversen Iteration wird ein Parameter 👁 {\displaystyle \theta }
, der Shift, benötigt. Wird 👁 {\displaystyle \theta }
in jedem Iterationsschritt als Rayleigh-Quotient der aktuellen Eigenvektornäherung gewählt, ergibt dies das sogenannte Rayleigh-Quotienten-Verfahren.^[2]

1. ↑ Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka: Numerik-Algorithmen. 10. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-13472-2, Abschnitt 7.4 Konvergenzverbesserung mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten im Falle hermitescher Matrizen.
2. ↑ Lloyd N. Trefethen, David Bau: Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997, ISBN 978-0-89871-361-9, S. 207–210 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).