Christian Felix Klein (Düsseldorf, 1849ko apirilaren 25ean - Göttingen,1925eko ekainaren22a) alemaniar matematikaria izan zen. Irakasle-lanak egin zituen Erlangenen, Munichen eta Leipzigen, besteak beste. Geometria ez euklidearra, eta multzoen eta funtzioen teoriak ikertu zituen; baita funtzio eliptikoak eta automorfoak, eta bosgarren mailako ekuazioak ere. Erlanger Programm deritzan obran geometria modernoa aztertu zuen bere osotasunean. Matematikari buruzko ikasketak antolatzeko zuen ahalmenagatik matematikari ezaguna eta aintzat hartua da.^[1]

Felix Klein Düsseldorfen jaio zen, guraso prusiarrengandik. Bere aita, Caspar Klein (1809–1889), Prusiako gobernuaren funtzionario idazkaria zen, Rhin probintzian kokatua. Bere ama Sophie Elise Klein (1819–1890, jaiotzez Kayser) zen.^[2] Düsseldorfeko Gimnasioan ikasi zuen, eta ondoren matematika eta fisika ikasi zituen Bonn-eko Unibertsitatean 1865–1866, fisikari izateko asmoarekin. Garai hartan, Julius Plückerrek Bonn-eko matematika eta fisika esperimentaleko katedra zuen, baina Klein bere laguntzaile bihurtu zenerako, 1866an, Plückerren interesa batez ere geometria zen. Kleinek doktoretza jaso zuen Bonn-eko Unibertsitatean, Plückerren gainbegiratzearekin, 1868an.^[3]

Plücker 1868an hil zen, lerro-geometriaren oinarriei buruzko bere liburua osatu gabe utziz. Klein zen Plückerren "Espazioaren geometria berria" (Neue Geometrie des Raumes) liburuaren bigarren zatia osatzeko pertsonarik egokiena, eta horrela ezagutu zuen Alfred Clebsch, 1868an Göttingenera joan zena. Kleinek Clebsch bisitatu zuen hurrengo urtean, Berlin eta Parisera bisitak eginez. 1870eko uztailean, Frantzia-Prusia Gerraren hasieran, Parisen zegoen eta herrialdea utzi behar izan zuen. Denbora labur batez Prusiako armadan mediku ordenantza gisa aritu zen, 1871ko hasieran Göttingenen irakasle izendatu aurretik.

Erlangengo Unibertsitateak Klein irakasle izendatu zuen 1872an, 23 urte besterik ez zituenean. Horregatik, Clebschek babestu zuen, bere garaiko matematikaririk onena izango zela uste baitzuen. Kleinek ez zuen Erlangenen geratu nahi, ikasle gutxi zeudelako, eta pozik agertu zen 1875ean Municheko Teknologia Goi Eskolan irakasle postua eskaini ziotelako. Han, Alexander von Brillek eta berak ikastaro aurreratuak eman zizkieten ikasle bikain askori, besteak beste, Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi eta Gregorio Ricci-Curbastro.^[4]

1875ean, Klein Anne Hegelekin ezkondu zen, Georg Wilhelm Friedrich Hegel filosofoaren bilobarekin.^[5]

Bost urte Technische Hochschule-n eman ondoren, Klein Leipzigeko Unibertsitateko geometria katedradun izendatu zuten. Bere lankideen artean Walther von Dyck, Rohn, Eduard Study eta Friedrich Engels zeuden. Kleinek Leipzig-en eman zituen urteek, 1880tik 1886ra, funtsean bere bizitza aldatu zuten. 1882an, bere osasuna okertu egin zen eta hurrengo bi urteetan depresioarekin borrokatu zen. Hala ere, bere ikerketak jarraitu zuen; 1886 eta 1888 artean argitaratutako sigma funtzio hipereliptikoei buruzko lan garrantzitsua garai hartakoa da.^[6]

Kleinek Göttingengo Unibertsitatean irakasle postua onartu zuen 1886an. Ordutik aurrera, 1913an erretiratu zen arte, Göttingen munduko matematika ikerketa zentro nagusi gisa berreskuratzen saiatu zen. Hala ere, ez zuen inoiz lortu geometriaren garatzaile gisa zuen paper nagusia Leipzig-etik Göttingen-era eramatea. Hainbat ikastaro eman zituen Göttingenen, batez ere matematikaren eta fisikaren arteko interfazeari buruzkoak, bereziki mekanikari eta potentzialaren teoriari buruzkoak.

Kleinek Göttingenen ezarritako ikerketa-instalazioa mundu osoko instalazio onenen eredu izan zen. Asteko eztabaida-bilerak ezarri zituen, eta matematika-irakurketa-gela eta liburutegi bat sortu zituen. 1895ean, Kleinek David Hilbert kontratatu zuen Königsbergeko Unibertsitatetik. Izendapen honek garrantzi handia izan zuen; Hilbertek Göttingenen matematikan zuen nagusitasuna indartzen jarraitu zuen 1932an erretiratu zen arte. Kleinek eta Hilbertek Emmy Noether gonbidatu zuten Göttingenera 1915ean, eta han Emmy Noether talde-teoria eta simetrien eta kontserbazio-printzipioen arteko harremana aurkeztu zizkion Einsteini.^[7]

Kleinen zuzendaritzapean, "Mathematische Annalen" munduko matematika aldizkari onenetako bat bihurtu zen. Clebschek sortua, Kleinen zuzendaritzapean hazi zen, Berlingo Unibertsitatean egoitza zuen "Crelle's Journal" aldizkariaren aurka lehiatu eta azkenean gainditu arte. Kleinek editore talde txiki bat sortu zuen, aldizka biltzen zirenak eta erabakiak espiritu demokratikoan hartzen zituztenak. Aldizkaria hasieran analisi konplexuan, geometria aljebraikoan eta teoria inbarianteetan espezializatu zen. Analisi errealarentzat eta talde teoria berriarentzat irteera garrantzitsua ere izan zen.

1893an, Klein hizlari garrantzitsua izan zen Chicagon egindako Nazioarteko Matematika Kongresuan, Munduko Kolonbiako Erakusketaren barruan.^[8] Neurri batean Kleinen ahaleginei esker, Göttingenek emakumeak onartzen hasi zen 1893an. Göttingenen emakume batek idatzitako matematikako lehen doktorego-tesia gainbegiratu zuen, Grace Chisholm Young ingelesak idatzia, Arthur Cayleyren ikasle ingelesa eta Kleinek miresten zuena. 1897an, Klein Herbehereetako Arte eta Zientzien Errege Akademiako kide atzerritar bihurtu zen.^[9]

1900 inguruan, Kleinek eskoletan matematika irakasteaz interesatzen hasi zen. 1905ean, funtsezkoa izan zen geometria analitikoa, kalkulu diferentzial eta integralaren oinarriak eta funtzio kontzeptua bigarren hezkuntzako ikastetxeetan irakasteko gomendioa ematen zuen plan bat formulatzeko.^[10] Gomendio hau pixkanaka ezarri zen munduko herrialde askotan. 1908an, Klein Matematika Irakaskuntzari buruzko Nazioarteko Batzordeko presidente hautatu zuten Erromako Matematikarien Nazioarteko Kongresuan.^[11] Bere gidaritzapean, Batzordearen zati alemaniarrak liburuki ugari argitaratu zituen matematikaren irakaskuntzari buruz, Alemanian maila guztietan. 1892an, Manchesterko Literatura eta Filosofia Elkarteak Klein Elkarteko ohorezko kide izendatu zuen.^[12] Londresko Matematika Elkarteak De Morgan domina eman zion Kleini 1893an. 1885ean Royal Society-ko kide hautatu zuten, eta 1912an Copley domina eman zioten. Hurrengo urtean erretiratu zen osasun arazoak zirela eta, baina matematika irakasten jarraitu zuen etxean beste hainbat urtez.^[13]

Klein Lehen Mundu Gerraren hasieran Belgikako inbasio alemaniarraren alde idatzitako "Laurogeita Hamahirukoen Manifestuaren" laurogeita hamahiru sinatzaileetako bat izan zen.

1925ean hil zen Göttingenen.

Kleinen tesiak, lerro-geometria eta mekanikako aplikazioei buruz, bigarren mailako lerro-konplexuak sailkatu zituen Weierstrassen oinarrizko zatitzaileen teoria erabiliz.

Kleinen lehen aurkikuntza matematiko garrantzitsuak 1870ean egin zituen. Sophus Lierekin lankidetzan, Kummer gainazaleko lerro asintotikoen oinarrizko propietateak aurkitu zituen. Geroago, W kurbak ikertu zituzten, transformazio proiektiboen talde baten pean aldaezinak diren kurbak. Lie izan zen Kleini taldearen kontzeptua aurkeztu ziona, eta horrek paper garrantzitsua izango zuen bere geroagoko lanean. Kleinek taldeei buruz Camille Jordanengandik ere ikasi zuen.^[14]

Kleinek bere izena daraman "Klein botila" asmatu zuen, hiru dimentsioko espazio euklidearrean txertatu ezin den gainazal itxi aldebakarrekoa, baina bere burua zeharkatzen duen zilindro gisa murgildu daitekeena bere beste muturrarekin "barrutik" elkartzeko. 4 dimentsioko eta handiagoko espazio euklidearrean txertatu daiteke. Klein botilaren kontzeptua 3 dimentsioko Möbius banda gisa asmatu zen, eraikuntza-metodo bat bi Möbius bandaren ertzak lotzea izanik.^[15]

1890eko hamarkadan, Klein fisika matematikoa sakonago ikasten hasi zen, giroskopioari buruz Arnold Sommerfeldekin batera idatziz.^[16] 1894an, matematikaren entziklopedia baten ideia abiarazi zuen, bere aplikazioak barne, eta hori "Matematika Zientzien Entziklopedia" (Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften) bihurtu zen. 1935era arte iraun zuen ekimen honek balio iraunkorreko erreferentzia estandar garrantzitsua eman zuen.^[17]

• (Alemanez) 1882: "Riemannen funtzio aljebraikoen eta haien integralen teoriari buruz" (Über Riemann-en Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale)
• (Alemanez) 1884: "Ikosaedroari eta 5. mailako ekuazioen ebazpenari buruzko hitzaldiak" (Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade). G. G. Morriceren ingelesezko itzulpena 1888an: "Ikosaedroari buruzko hitzaldiak; eta Internet Artxiboaren bidez Bosgarren Graduko Ekuazioen Ebazpena" (Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree)
• (Alemanez) 1886: "Sigma funtzio hipereliptikoei buruz" (Über hyperelliptische Sigmafunktionen).^[20]
• (Alemanez) 1887: "Matematikaren atmetizazioa." (The athmetizing of mathematics)^[21]
• (Alemanez) 1888: "Sigma funtzio hipereliptikoei buruz" (Über hyperelliptische Sigmafunktionen).^[22]
• (Alemanez) 1890: "Geometria ez-euklidearra" (Nicht-Euklidische Geometrie)

• (Alemanez) 1890, 1892: "Funtzio modular eliptikoen teoriari buruzko hitzaldiak" (Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen), Robert Frickerekin, 2 liburuki.^[23]
• (Alemanez) 1894: "Funtzio hipergeometrikoari buruz" (Über die hypergeometrische Funktion)
• (Alemanez) 1894: "Bigarren mailako ekuazio diferentzial linealei buruz" (Über lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung)
• (Ingelesez) 1894: "1893ko Evanstongo kolokioa" (Evanston Colloquium-1893) Ziwetek argitaratu eta jakinarazi zuen, New York, 1894.^[24]
• (Ingelesez) 1894: "Matematikari buruzko hitzaldiak (Lectures on Mathematics), New York, Londres: Macmillan and Co.
• (Alemanez)1895: "Oinarrizko geometriako gai hautatuei buruzko hitzaldiak" (Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie). W. W. Beman eta D. E. Smith-en ingelesezko itzulpena 1897an: "Oinarrizko Geometriaren Problema Ospetsuak" (Famous Problems of Elementary Geometry)^[25]
• (Alemanez) 1897: "Giroskopioaren teoria." (Theorie des Kreisels), Arnold Sommerfeldekin, geroko liburukiak: 1898, 1903, 1910.
• (Alemanez)1897: "Funtzio Automorfikoen Teoriari buruzko Hitzaldiak. Lehen Bolumena. Talde-Teoriaren Oinarriak " (Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen), Fricke Robert-ekin.^[26]
• (Ingelesez) 1897: "Goialdearen teoria matematikoa" (Mathematical Theory of the Top), Princetongo hitzaldia, New York^[27]

• (Alemanez) 1901: "Gaussen-en zientzia-egunkaria, 1796–1814. Felix Kleinen oharpenekin" (Gaussen wissenschaftliches Tagebuch, 1796-1814. Mit Anmerkungen von Felix Klein)^[28]
• (Alemanez) 1912: "Funtzio Automorfikoen Teoriari buruzko Hitzaldiak. Bigarren Bolumena: Funtzio-Teoriaren Azalpenak eta Aplikazioak. 1. Zatia: Funtzio Automorfikoen Teoria Zehatzagoa" (Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen) Fricke, Robertekin.
• (Alemanez) 1908: "Oinarrizko matematika ikuspuntu altuago batetik" (Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus) (Leipzig)
• (Alemanez) 1921: "Matematikako tratatuen bilduma" (Gesammelte mathematische Abhandlungen), A. Ostrowskirekin, Berlin, 3 liburuki.
• (Alemanez) 1926 - 1927: "Matematikaren garapenari buruzko hitzaldiak XIX. mendean, 2 liburuki" (Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. 2 Bände), Springer argitaletxearekin, Berlin.^[29]
• (Alemanez) 1928: "Geometria ez-euklidearrari buruzko hitzaldiak, zientzia matematikoen oinarrizko printzipioak" (Vorlesungen über nichteuklidische Geometrie, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften), Springer argitaletxea^[30]
• (Alemanez) 1933: "Funtzio hipergeometrikoari buruzko hitzaldiak, zientzia matematikoen oinarrizko printzipioak" (Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften), Springer argitaletxea.

1. ↑ (Ingelesez)Halsted, George Bruce. (1894)."Biography: Felix Klein". The American Mathematical Monthly. 1 (12),416–420or.ISBN doi:10.2307/2969034. JSTOR 2969034..
2. ↑ (Alemanez)Rüdiger Thiele. (2011).Felix Klein in Leipzig: mit F. Kleins Antrittsrede, Leipzig 1880. Ed. am Gutenbergplatz.,195or.ISBN 978-3-937219-47-9..
3. ↑ (Ingelesez)Snyder, Virgil. (1922)."Klein's Collected Works".. Bull. Amer. Math. Soc. 28 (3),125–129or.ISBN doi:10.1090/S0002-9904-1922-03510-0...
4. ↑ (Ingelesez)Ivor Grattan-Guinness, ed.. (2005).Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940. Elsevier.,546or.ISBN 978-0-08-045744-4..
5. ↑ (Ingelesez)Chislenko, Eugene; Tschinkel, Yuri.. (2007)."The Felix Klein Protocols". Notices of the American Mathematical Society, Volume 54, Number 8,960–970or..
6. ↑ (Ingelesez)Reid, Constance. (1996).Hilbert. New York: Springer-Verlag,19or.ISBN 9781461207399..
7. ↑ (Ingelesez)Phillips, Lee. (2024).Einstein's Tutor: The Story of Emmy Noether and the Invention of Modern Physics.. Public AffairsISBN 978-1541702950..
8. ↑ (Ingelesez)Case, Bettye Anne, ed.. (1996)."Come to the Fair: The Chicago Mathematical Congress of 1893 by David E. Rowe and Karen Hunger Parshall".. A Century of Mathematical Meetings. American Mathematical Society,64or.ISBN 9780821804650..
9. ↑ (Ingelesez)"Felix C. Klein (1849–1925)". Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences..
10. ↑ (Ingelesez)Gary McCulloch; David Crook, eds. (2013).The Routledge International Encyclopedia of Education. Routledge,373or.ISBN 978-1-317-85358-9...
11. ↑ (Ingelesez)Alexander Karp; Gert Schubring, eds.. (2014).Handbook on the History of Mathematics Education.. Springer Science & Business Media.,499–500or.ISBN 978-1-4614-9155-2..
12. ↑ (Ingelesez)Alexander Karp; Gert Schubring, eds.. (2014).Handbook on the History of Mathematics Education. Springer Science & Business Media.,503or.ISBN 978-1-4614-9155-2..
13. ↑ (Ingelesez)Memoirs and proceedings of the Manchester Literary & Philosophical Society. FOURTH SERIES Eighth VOLUME 1894.
14. ↑ (Ingelesez)O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F.,."Felix Klein". MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.
15. ↑ (Ingelesez)Numberphile. (2015).Klein Bottles. Numberphile.
16. ↑ (Ingelesez)de:Werner Burau and de:Bruno Schoeneberg. (2008)."Klein, Christian Felix.". Complete Dictionary of Scientific Biography. Encyclopedia.com:.
17. ↑ (Ingelesez)Ivor Grattan-Guinness. (2009).Routes of Learning: Highways, Pathways, Byways in the History of Mathematics. Johns Hopkins University Press,44, 45, 90or.ISBN 0-8018-9248-1..
18. ↑ (Ingelesez)Allen, Edward Switzer. (1929)."Three books on non-euclidean geometry". Bull. Amer. Math. Soc. 35,271–276or.ISBN doi:10.1090/S0002-9904-1929-04726-8...
19. ↑ (Ingelesez)Abikoff, William. (1981)."The Uniformization Theorem". The American Mathematical Monthly. 88 (8),574–592or..
20. ↑ (Alemanez)Erster Aufsatz. Mathematische Annalen,323–356or..
21. ↑ (Ingelesez)Ewald, William. (1996).From Kant to Hilbert:. A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 liburuki. Oxfordeko Unibertsitatea.,965–971.or..
22. ↑ (Alemanez)Zweiter Aufsatz. Matematika. Annalen,357–387or..
23. ↑ (Alemanez)Cole, F. N.. (1892)."Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen von Felix Klein, Erste Band" (PDF).. Bull. Amer. Math. Soc. 1 (5):,105–120.or.ISBN doi:10.1090/S0002-9904-1892-00049-3...
24. ↑ (Ingelesez)White, Henry S. (1894)."Review: The Evanston Colloquium: Lectures on Mathematics by Felix Klein" (PDF).. Bull. Amer. Math. Soc. 3 (5):,119–122.or.ISBN doi:10.1090/s0002-9904-1894-00190-6...
25. ↑ (Alemanez)Scott, Charlotte Angas. (1986)."Review: Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie von Felix Klein" (PDF).. Bull. Amer. Math. Soc. 2 (6):,157–164.or.ISBN doi:10.10 90/s0002-9904-1896-00328-1...
26. ↑ (Alemanez)Hutchinson, J. I.. (1903)."Review: Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen von Robert Fricke & Felix Klein, Erste Band & Zweiter Band" (PDF).. Bulletin of the American Mathematical Society. 9 (9): .,470–492or.ISBN doi:10.1090/S0002-9904-1903-01020-9...
27. ↑ (Ingelesez)Thompson, Henry Dallas. (1899)."Review: Mathematical Theory of the Top by Felix Klein" (PDF).. Bull. Amer. Math. Soc. 5 (10),486–487.or.ISBN doi:10.1090/s0002-9904-1899-00643-8...
28. ↑ (Alemanez)Bôcher, Maxime. (1902)."Review: Gauss' wissenschaftlichen Tagebuch, 1796—1814. Mit Anmerkungen von Felix Klein" (PDF).. Bull. Amer. Math. Soc. 9 (2):,125–126.or.ISBN doi:10.1090/s0002-9904-1902-00959-2...
29. ↑ (Alemanez)Smith, David Eugene. (1928)."Review: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert von Felix Klein. Erste Band" (PDF).. Bulletin of the American Mathematical Society. 34 (4):,521–522.or.ISBN doi:10.1090/S0002-9904-1928-04589-5...
30. ↑ (Ingelesez)Allen, Edward Switzer. (1929)."Three books on non-euclidean geometry".. Bull. Amer. Math. Soc. 35:,271–276or.ISBN doi:10.1090/S0002-9904-1929-04726-8...

(Ingelesez) Felix Kleinen lanak, Project Gutenberg-en