Paraabeli (kreik. παραβολή, parabolḗ, vanh. myös parabeli^[1]) on matemaattinen tasokäyrä. Se on eräs kartioleikkauksista. Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli. Paraabelilla kartioleikkauksena on ominaisuus, että sen kaltevuuskulma on aina yhtäsuuri kuin kyseistä paraabelia vastaavan ympyräkartion sivujanan kaltevuuskulma.^[2]

Olkoon l tason suora ja P piste, joka ei ole suoralla l. Näihin liittyvä paraabeli on niiden pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä sekä suorasta l että pisteestä P. Suoraa l kutsutaan paraabelin johtosuoraksi ja pistettä P (myös F) polttopisteeksi.

Paraabelin akseli on polttopisteen kautta kulkeva johtosuoran normaali. Paraabeli on symmetrinen akselinsa suhteen. Paraabelin huippu on paraabelin leikkauspiste akselinsa kanssa.^[3]

Jos paraabelin akseli on pystysuora, on paraabelin yhtälö karteesisessa koordinaatistossa 👁 {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
. Tässä kertoimet a, b ja c ovat reaalilukuja ja lisäksi a on nollasta eroava.

Kertoimen a merkistä riippuu paraabelin aukeamissuunta: jos 👁 {\displaystyle a>0}
, aukeaa paraabeli ylöspäin, jos taas 👁 {\displaystyle a<0}
, aukeaa paraabeli alaspäin.

Paraabelin 👁 {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
huippupisteen x-koordinaatti on

👁 {\displaystyle \displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.}

Tämä voidaan perustella differentiaalilaskennan avulla derivoimalla funktio 👁 {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
ja määräämällä derivaatan nollakohta. Huippupisteen y-koordinaatti on

👁 {\displaystyle \displaystyle y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\cdot \left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}}={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}.}

Jos paraabelin akseli on vaakasuora, on sen yhtälö 👁 {\displaystyle x=ay^{2}+by+c}
. Kertoimen a merkitys ja huippukohta ovat analogiset edellisten kanssa.^[3]

Yleiselle paraabelille, jonka polttopiste on 👁 {\displaystyle F(u,v)}
ja jonka johtosuora on muotoa 👁 {\displaystyle ax+by+c=0}
, pätee yhtälö

👁 {\displaystyle {\frac {\left(ax+by+c\right)^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}.\,}

Toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajat ovat paraabeleja. Yksinkertaisin tällainen funktio on 👁 {\displaystyle f(x)=x^{2}}
. Kuvaajan muotoon ja sijaintiin vaikuttavat funktion 👁 {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
parametrit 👁 {\displaystyle a,b}
ja 👁 {\displaystyle c}
.

Parametri 👁 {\displaystyle a}
vaikuttaa yleisesti paraabelin jyrkkyyteen, siis siihen, kuinka jyrkästi paraabeli aukeaa ylös tai alas. Parametrin 👁 {\displaystyle a}
arvo määrää myös paraabelin aukeamissuunnan: positiivisella 👁 {\displaystyle a}
:lla varustetun funktion kuvaaja aukeaa ylöspäin, ja negatiivisella 👁 {\displaystyle a}
:lla varustetun alaspäin.

Parametri 👁 {\displaystyle b}
vaikuttaa puolestaan kuvaajan sijaintiin sivusuunnassa ja myös pystysuunnassa. Voidaan myös huomata, että funktion 👁 {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
kuvaajan huippupiste siirtyy 👁 {\displaystyle b}
:n vaihdellessa funktion 👁 {\displaystyle g(x)=-ax^{2}+c}
kuvaajaa pitkin. Perustelu tälle mielenkiintoiselle havainnolle saadaan siitä, että paraabelin 👁 {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
huippupisteen koordinaatit 👁 {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
ja 👁 {\displaystyle y={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}
toteuttavat yhtälön

👁 {\displaystyle y={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}=-{\frac {b^{2}}{4a}}+{\frac {4ac}{4a}}=-a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c=-ax^{2}+c,}

ja ovat siis funktion 👁 {\displaystyle g(x)=-ax^{2}+c}
kuvaajalla.

Tarkastellaan paraabelia 👁 {\displaystyle y=f(x)=ax^{2}+bx+c}
, missä 👁 {\displaystyle a\not =0}
.

Pisteen 👁 {\displaystyle (x_{0},y_{0})}
kautta kulkevien tämän paraabelin tangenttien sivuamispisteiden koordinaatit saadaan tällöin yhtälöistä

👁 {\displaystyle {\begin{cases}x_{i}=x_{0}\pm {\sqrt {\frac {f(x_{0})-y_{0}}{a}}}\\y_{i}=f(x_{i})\end{cases}}}

Juurrettavan arvosta riippuen saadaan nolla, yksi tai kaksi tangenttia.

Jos 👁 {\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}
, ts. piste sijaitsee tarkastellulla paraabelilla, saadaan yksi tangentti, jonka yhtälö saadaan kaavasta

👁 {\displaystyle y=f'(x_{0})(x-x_{0})+y_{0}}

Kun yo. yhtälön juurrettava 👁 {\displaystyle {\frac {f(x_{0})-y_{0}}{a}}>0}
saadaan kaksi sivuamispistettä ja kaksi tangenttia.

Kun 👁 {\displaystyle (x_{i},y_{i})}
, missä 👁 {\displaystyle x_{i}\not =x_{0}}
, on tällaisen tangentin sivuamispiste, sen yhtälö saadaan kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöstä

👁 {\displaystyle y={\frac {y_{i}-y_{0}}{x_{i}-x_{0}}}(x-x_{0})+y_{0}}

Tarkastellaan paraabelia 👁 {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
, 👁 {\displaystyle a\neq 0}
, ja sen peilaamista huippupisteen 👁 {\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)}
kautta kulkevan tangenttinsa suhteen eli paraabelin "kääntämistä ylösalaisin" huippupisteen pysyessä paikallaan. Tämä voidaan ajatella tehtävän kahdessa vaiheessa:

(1) Peilataan paraabeli ensin 👁 {\displaystyle y}
-akselin suhteen. Tämä vaihtaa 👁 {\displaystyle y}
-koordinaatin etumerkin, ja päädytään paraabeliin 👁 {\displaystyle y=-ax^{2}-bx-c}
, jonka huippu on pisteessä 👁 {\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)}
.

(2) Siirretään näin saatua paraabelia 👁 {\displaystyle y=-ax^{2}-bx-c}
pystysuunnassa siten, että huippupiste tulee alkuperäisen paraabelin huippupisteeseen. Tarvittava pystysuuntainen siirto on suuruudeltaan 👁 {\displaystyle 2\cdot {\frac {4ac-b^{2}}{4a}}={\frac {4ac-b^{2}}{2a}}}
. Tämä on selvää, koska huippupisteen 👁 {\displaystyle x}
-koordinaatti ei muuttunut vaiheessa (1), mutta 👁 {\displaystyle y}
-koordinaatti muuttui vastaluvuksi. Siirto johtaa paraabeliin

👁 {\displaystyle y=-ax^{2}-bx-c+{\frac {4ac-b^{2}}{2a}}}

eli

👁 {\displaystyle y=-ax^{2}-bx+{\frac {2ac-b^{2}}{2a}}}
.

Näin saadun paraabelin huippu on huippupisteen laskukaavan mukaisesti pisteessä 👁 {\displaystyle \left({\frac {b}{2(-a)}},{\frac {4(-a)\cdot {\frac {2ac-b^{2}}{2a}}-(-b)^{2}}{4(-a)}}\right)=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)}
, siis samassa pisteessä kuin alkuperäisen paraabelin huippupiste, kuten pitikin.

Kun siis ajatellaan, että paraabeli on kiinni vain huippupisteestään, ja se käännetään ylösalaisin, päädytään paraabeliin 👁 {\displaystyle y=-ax^{2}-bx+{2ac-b^{2} \over 2a}}
.

Esimerkki. Paraabelin 👁 {\displaystyle y=2x^{2}+x+1}
peilikuva, eli "käännetty" paraabeli, on siis 👁 {\displaystyle y=-2x^{2}-x+0,75}
.

Paraabelin 👁 {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
"kääntämisen" kaava on siis: 👁 {\displaystyle y=-ax^{2}-bx+{2ac-b^{2} \over 2a}}
.

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6