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In geometria un angolo solido è un'estensione allo spazio tridimensionale del concetto di angolo piano. Esso è definito come ciascuna delle due regioni in cui viene suddiviso lo spazio dalla superficie formata dalle semirette che hanno origine in uno stesso punto (detto vertice dell'angolo solido) e passanti per i punti di una curva chiusa semplice tracciata su una superficie non contenente il vertice. L'unità di misura dell'angolo solido è lo steradiante.

Un caso particolare di angolo solido è l'angoloide poliedrico (o semplicemente angoloide) che si ottiene quando la curva è un poligono. Un angoloide può essere chiamato angoloide quadrico quando ammette che le proprie facce siano tangenti a una quadrica di rotazione, come avviene nel caso dell'angoloide triedrico.

Misura dell'angolo solido

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👁 Image

Angolo solido W sotteso in una sfera di raggio R

La misura in steradianti dell'angolo solido 👁 {\displaystyle \Omega }
è definita come 👁 {\displaystyle A/R^{2}}
, dove 👁 {\displaystyle A}
è l'area della porzione di superficie sferica di raggio 👁 {\displaystyle R}
vista sotto l'angolo 👁 {\displaystyle \Omega }
. Tale definizione è indipendente dal particolare valore del raggio scelto, ed è un'estensione allo spazio tridimensionale della definizione della misura di un angolo piano 👁 {\displaystyle \theta }
in radianti come 👁 {\displaystyle s/r}
, dove 👁 {\displaystyle s}
è la lunghezza dell'arco di circonferenza di raggio 👁 {\displaystyle r}
sotteso da 👁 {\displaystyle \theta }
. L'angolo solido sotteso da una superficie generica rispetto a un punto P è dunque equivalente a quello sotteso dalla proiezione della stessa superficie su una sfera di raggio qualsiasi centrata in P.

Dalla precedente definizione consegue che l'angolo solido sotteso dall'intera superficie sferica misura 👁 {\displaystyle 4\pi }
. Per avere la misura in gradi quadrati si moltiplica il valore in steradianti per 👁 {\displaystyle (180/\pi )^{2}}
, ovvero per 👁 {\displaystyle \approx 3282,8}
. Quindi tutta la sfera corrisponde a circa 41253 gradi quadrati.

Esempi

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Nel caso di un cono di apertura 👁 {\displaystyle \alpha }
, la misura dell'angolo solido 👁 {\displaystyle \Omega }
rispetto al vertice è uguale a:

👁 {\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right).}

Caso particolare è l'angolo solido sotteso da mezza sfera, cioè da un angolo pari a 👁 {\displaystyle \pi }
. La formula diventa:

👁 {\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos {\frac {\pi }{2}}\right)=2\pi (1-0)=2\pi ,}

che è uguale alla metà di 👁 {\displaystyle 4\pi }
che è l'intero angolo solido.

Una semplice formula per calcolare la misura dell'angolo solido sotteso di un triangolo di vertici 👁 {\displaystyle {\mathbf {R} }_{1}}
, 👁 {\displaystyle {\mathbf {R} }_{2}}
e 👁 {\displaystyle {\mathbf {R} }_{3}}
e visto dall'origine è stata formulata da Oosterom e Strackee:

👁 {\displaystyle \tan \left({\frac {\Omega }{2}}\right)={\frac {|{\mathbf {R} }_{1}\cdot ({\mathbf {R} }_{2}\times {\mathbf {R} }_{3})|}{R_{1}R_{2}R_{3}+({\mathbf {R} }_{1}\cdot {\mathbf {R} }_{2})R_{3}+({\mathbf {R} }_{2}\cdot {\mathbf {R} }_{3})R_{1}+({\mathbf {R} }_{3}\cdot {\mathbf {R} }_{1})R_{2}}},}

dove:

👁 {\displaystyle {\mathbf {R} }_{i}}
è la rappresentazione vettoriale del punto 👁 {\displaystyle i}
;

👁 {\displaystyle R_{i}}
denota la distanza del punto 👁 {\displaystyle i}
dall'origine (norma euclidea di 👁 {\displaystyle {\mathbf {R} }_{i}}
);

👁 {\displaystyle {\mathbf {R} }_{i}\cdot {\mathbf {R} }_{j}}
denota il prodotto scalare;

👁 {\displaystyle {\mathbf {R} }_{i}\times {\mathbf {R} }_{j}}
denota il prodotto vettoriale;

👁 {\displaystyle |\cdot |}
denota il valore assoluto.

👁 {\displaystyle \Omega }
è anche l'area del triangolo che giace in una sfera centrata nell'origine e di raggio unitario, avente come lati i segmenti di intersezione della sfera con i piani passanti per l'origine e due vertici.

Il segno del numeratore (prima della valutazione del modulo) indica se dall'origine è visibile la faccia interna del triangolo (👁 {\displaystyle +}
) o la faccia esterna (👁 {\displaystyle -}
). L'orientazione del triangolo è definita tramite l'orientazione dei suoi vertici (senso orario o antiorario).

Nota bene: nel caso in cui il denominatore risultasse negativo, l'arcotangente restituirebbe un valore negativo, a cui deve essere aggiunto 👁 {\displaystyle \pi }
.

Il sole e la luna sono visti dalla Terra all'incirca sotto lo stesso angolo solido, che corrisponde più o meno a 1/100000 della volta celeste.