Il diottro è un sistema ottico costituito dalla superficie di separazione di due mezzi con indice di rifrazione diverso. Se la superficie è piana, si parla di diottro piano, e tra i diottri non piani, quello di particolare rilevanza è il diottro sferico.^[1] Un sistema ottico centrato, composto da due diottri rifrangenti adiacenti (con almeno uno curvo), forma una lente^[2].

In approssimazione parassiale, quindi per angoli di incidenza piccoli, si può ricavare che la legge dei punti coniugati di un diottro è:

👁 {\displaystyle {\frac {n_{1}}{p}}+{\frac {n_{2}}{q}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}}

dove 👁 {\displaystyle R}
indica il raggio di curvatura della superficie. Infatti, facendo riferimento alla figura a lato (il fatto che il diottro sia convesso o concavo non cambia il risultato), dove 👁 {\displaystyle n_{1}<n_{2}}
, è possibile scrivere le seguenti relazioni geometriche: 👁 {\displaystyle \alpha +\omega +(\pi -\vartheta _{1})=\pi }
e 👁 {\displaystyle \beta +\vartheta _{2}+(\pi -\omega )=\pi }
. Inoltre, siccome per ipotesi iniziale 👁 {\displaystyle \vartheta \sim \sin {\vartheta }\sim \tan {\vartheta }}
, la legge di Snell può essere riscritta come 👁 {\displaystyle n_{1}\vartheta _{1}=n_{2}\vartheta _{2}}
, che unita a quelle precedentemente ricavate fornisce 👁 {\displaystyle n_{1}\alpha +n_{2}\beta =(n_{2}-n_{1})\omega }
. Infine, poiché l'approssimazione parassiale coinvolge anche gli angoli 👁 {\displaystyle \alpha ={\frac {l}{p}}}
, 👁 {\displaystyle \beta ={\frac {l}{q}}}
e 👁 {\displaystyle \omega ={\frac {l}{R}}}
, si ottiene la legge scritta sopra.

Dato un sistema ottico, la conoscenza di pochi punti, detti punti principali, permette di costruire l'immagine di un qualsiasi oggetto. Per il diottro i punti principali sono il centro 👁 {\displaystyle C}
di curvatura della superficie ed i fuochi del diottro:

• Il centro di curvatura 👁 {\displaystyle C}
  ha la proprietà che qualsiasi raggio di luce proveniente dallo spazio oggetto e passante per 👁 {\displaystyle C}
  non subisce deviazioni nell'attraversare la calotta sferica.
• Il secondo fuoco 👁 {\displaystyle F_{2}}
  del diottro è il punto in cui convergono tutti i raggi luminosi provenienti dallo spazio oggetto parallelamente all'asse ottico; il secondo fuoco è quindi l'immagine di un punto posto all'infinito (👁 {\displaystyle p\rightarrow +\infty }
  ). La distanza 👁 {\displaystyle f_{2}}
  (con relativo segno) di tale punto dal vertice 👁 {\displaystyle V}
  del diottro è data ponendo

  👁 {\displaystyle f_{2}=q={\frac {n_{2}}{n_{2}-n_{1}}}R}
  

• il primo fuoco 👁 {\displaystyle F_{1}}
  è invece il punto sull'asse ottico nello spazio oggetto la cui immagine è il punto posto all'infinito (👁 {\displaystyle q\rightarrow +\infty }
  ):

  👁 {\displaystyle f_{1}=p={\frac {n_{1}}{n_{2}-n_{1}}}R}
  

È da osservare che le distanze focali 👁 {\displaystyle f_{1}}
e 👁 {\displaystyle f_{2}}
di un diottro hanno sempre lo stesso segno, uguale od opposto a quello del raggio di curvatura a seconda del segno di 👁 {\displaystyle n_{2}-n_{1}}
. Moltiplicando ambo i membri della legge dei punti coniugati per 👁 {\displaystyle {\frac {R}{n_{2}-n_{1}}}}
, essa può essere riscritta in modo che compaiano le distanze focali:

👁 {\displaystyle {\frac {f_{1}}{p}}+{\frac {f_{2}}{q}}=1}

Altre formule utili che legano le grandezze in gioco sono 👁 {\displaystyle {\frac {f_{1}}{f_{2}}}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}}
ed 👁 {\displaystyle f_{2}-f_{1}=R}
.

Tramite considerazioni geometriche simili a quelle fatte in precedenza si ricava l'ingrandimento lineare trasversale del diottro:

👁 {\displaystyle I={\frac {y'}{y}}={\frac {q-R}{p+R}}={\frac {n_{1}q}{n_{2}p}}}

Il termine 👁 {\displaystyle {\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}}
al secondo membro dell'uguaglianza iniziale è anche detto potere convergente del diottro: se è positivo il diottro è detto convergente, mentre se è negativo il diottro è detto divergente.

• (EN) R. A. Herman A treatise on geometrical optics (Cambridge University Press, 1900)
• (EN) E. T. Whittaker The theory of optical instruments (Cambridge University Press, 1907)
• (EN) J. L. Synge Geometrical Optics: An Introduction To Hamilton's Method (Cambridge University Press, 1937)
• (EN) Bruno Rossi, Optics, Addison-Wesley Educational Publishers Inc, 1957, ISBN978-02-01065-30-5.

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