gruppe (matematik)

En gruppe er i matematik en mængde \(G\), hvorpå der er fastlagt en (regne)operation (kompositionsregel), som for ethvert par af elementer \(a\) og \(b\) i \(G\) tilordner et nyt element i \(G\). Dette kaldes kompositionen eller (ofte misvisende) produktet af \(a\) og \(b\) og skrives \(a*b\).

Operationen skal opfylde tre regler: 1) For ethvert valg af \(a\), \(b\) og \(c\) i \(G\) skal gælde \((a*b)*c = a*(b*c)\) (associative regel). 2) Der skal være et neutralt element \(e\) i \(G\), som opfylder: \(e∗a = a∗e = a\) for ethvert valg af \(a\) i \(G\). 3) Desuden skal ethvert element a have et inverst element \(a′\), som opfylder \(a∗a′ = a′∗a = e\). Hvis yderligere \(a∗b = b∗a\) gælder for alle \(a\) og \(b\), kaldes gruppen abelsk eller kommutativ.

Eksempler på grupper er mængden af hele tal med addition som komposition, de positive rationale tal med multiplikation som komposition, gruppen af drejninger omkring et givent punkt samt de symmetriske grupper. I gruppen af drejninger består kompositionen af to drejninger i først at udføre den ene og derefter udføre den anden på resultatet. Den inverse drejning er tilbagedrejning, og det neutrale element er en drejning på 0 grader. De symmetriske grupper består af samtlige permutationer af en given mængdes elementer og er ikke-abelske, når mængden har flere end to elementer.

Gruppebegrebet er centralt placeret i den moderne matematik, og det spiller også en rolle i visse grene af fysikken og kemien. Se også gruppeteori.