kurve (geometrisk begreb)

Krumning, vendetangenter og spidstangenter

Øverst: Krumningen er et mål for tangentens drejningshastighed langs kurven. Tangenten i \(P\) fastlægges ved \(r′\) afsat fra \(P\), og krumningen er dens vinkelhastighed, målt i forhold til buelængden.
I midten: Vendetangent optræder i et punkt \(P\), hvor tangentdrejningen skifter retning, og det viser sig fx ved, at \(r′′\) er \(0\), mens \(r′′′\) er ulig \(0\).
Nederst: Spidstangent optræder, når \(r′\) er \(0\), og \(r′′\) er ulig \(0\); halvtangenten i spidsen fastlægges ved \(r′′\).

Krumning af plan kurve

Kurve er et geometrisk begreb, der generaliserer den rette linje. En plan, kontinuert kurve \(k\) defineres som billedmængden for en kontinuert afbildning af et interval \(I\) ind i den euklidiske plan \( \mathbf{R}^2 \), dvs. samlingen af punkter \( (x,y) \), således at \( x=f(t), y=g(t), t\in I \), hvor \(f\) og \(g\) er kontinuerte funktioner. Fremstillingen \( \mathbf{r}(t) = (f(t),g(t)) \) kaldes en parameterfremstilling. Kurven er lukket, hvis begyndelses- og slutpunktet er sammenfaldende. En bue er en afgrænset del af en kurve.

Faktaboks

Etymologi: af latin curvus 'krum, kroget'.

Plane kurver

Ovenstående definition er så rummelig, at der findes eksempler på kontinuerte kurver, som strider imod den umiddelbare forestilling om en kurve som en tynd, sammenhængende streg. Et eksempel er Peanos kurve, hvor billedmængden udfylder et kvadrat. Man stiller derfor yderligere krav til afbildningen for at opnå et rimeligt udseende ved tegning i et koordinatsystem. Således er en kurve regulær, når \(f\) og \(g\) er to gange differentiable med kontinuerte afledede, og \( (f',g')\neq (0,0) \). Dette sikrer bl.a., at kurven har en tangent i ethvert punkt, og at denne varierer kontinuert langs kurven. Fortolkes \( \mathbf{r}(t) \) som stedvektoren for et punkts bevægelse og \(t\) som tiden, er \( \mathbf{r}'(t) \) punktets hastighed, og \( \mathbf{r}''(t) \) dets acceleration.

En væsentlig egenskab ved parameterfremstillingen er, at man ved hjælp af denne kan afdække egenskaber ved kurvetegningen såsom buelængde, krumning, vendetangenter og spidser.

En plan kurve kan også gives ved, at dens punkter \( (x,y) \) tilfredsstiller en ligning \( y=F(x) \text{, hvor } a\leq x\leq b \). Denne kurve, der kaldes grafen for funktionen \(F\), kan behandles som ovenfor med parameterfremstillingen \( \mathbf{r}(x) = (x,F(x)) \text{, hvor } a\leq x\leq b \).

Rumkurver

Ganske tilsvarende defineres en rumkurve som billedmængden for en afbildning af et interval \(I\) ind i det euklidiske rum \( \mathbf{R}^3\). For en regulær rumkurve kræves, at i parameterfremstillingen \( \mathbf{r}(t) = (x,y,z)=(f(t),g(t),h(t)) \text{, hvor } t \text{ er i intervallet } I \), er \( f,g,h \) to gange differentiable med kontinuerte afledede, og vektorproduktet \( \mathbf{r}' \times\mathbf{r}'' \neq \mathbf{0} \). Her tjener parameterfremstillingen også til at afdække egenskaber ved kurvetegningen, fx tangentplan, oskulationsplan, krumning og torsion. En rumkurve kan også angives som skæringskurve mellem to flader givne ved deres ligninger \( F(x,y,z) = 0 \) og \( G(x,y,z) = 0 \).

Læs mere i Lex

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

Fagansvarlig for Analytisk plan- og rumgeometri

👁 Image

Vagn Lundsgaard Hansen

Professor i matematik, Danmarks Tekniske Universitet

👁 Den Danske Ordbog logo

URL: https://lex.dk/kurve_-_geometrisk_begreb