Ekspander – graf o niewielkiej liczbie krawędzi, w którym każdy podzbiór wierzchołków ma dużo sąsiadów. Istnieje kilka nierównoważnych formalizacji tej własności, definiujących różne klasy ekspanderów. Ekspandery pozwoliły na uzyskanie kilku istotnych wyników z różnych dziedzin informatyki: dowodów w teorii złożoności, projektowaniu sieci sortujących, kodów korekcji błędów, ekstraktorów losowości i odpornych na błędy schematów komunikacji w sieciach komputerowych.

W zależności od kontekstu, używa się różnych sposobów mierzenia ekspansji grafu.

👁 {\displaystyle \alpha }
– ekspansja wierzchołkowa grafu to współczynnik

👁 {\displaystyle g_{\alpha }(G)=\min _{1\leqslant |S|\leqslant \alpha {n}}{\frac {|\Gamma (S)|}{|S|}},}

gdzie 👁 {\displaystyle \Gamma (S)}
oznacza zbiór wszystkich sąsiadów zbioru 👁 {\displaystyle S}
(wierzchołków połączonych z tym zbiorem krawędzią). W niektórych zastosowaniach używa się pojęcia ekspansji jednokrawędziowej, gdzie bierze się pod uwagę tylko sąsiadów połączonych dokładnie jedną krawędzią z 👁 {\displaystyle S.}

Współczynnik ekspansji krawędziowej grafu 👁 {\displaystyle G}
definiuje się jako:

👁 {\displaystyle h_{\alpha }(G)=\min _{1\leqslant |S|\leqslant \alpha {n}}{\frac {|\partial (S)|}{|S|}},}

gdzie 👁 {\displaystyle \partial (S)}
oznacza zbiór krawędzi które łączą wierzchołek z 👁 {\displaystyle S}
z wierzchołkiem spoza 👁 {\displaystyle S.}

Przedstawiając graf jako macierz sąsiedztwa, można zdefiniować ekspansję w terminach wartości własnych tej macierzy. Macierz ta jest z definicji symetryczna, posiada zatem 👁 {\displaystyle n}
rzeczywistych wartości własnych 👁 {\displaystyle \lambda _{0}\geqslant \lambda _{1}\geqslant \ldots \geqslant \lambda _{n-1}.}
W przypadku grafu regularnego 👁 {\displaystyle \lambda _{0}}
jest równa stopniowi grafu 👁 {\displaystyle d.}
Różnica 👁 {\displaystyle d-\lambda _{1}}
nazywana jest przerwą spektralną.

Powyższe zależności są ze sobą powiązane. Oczywista jest zależność: 👁 {\displaystyle h_{\alpha }(G)\geqslant g_{\alpha }(G).}

Zależności pomiędzy ekspansją spektralną a pozostałymi zależnościami wyglądają następująco (dla grafu regularnego 👁 {\displaystyle G}
)

👁 {\displaystyle {\frac {1}{2}}(d-\lambda _{1})\leqslant h_{1/2}(G)\leqslant {\sqrt {2d(d-\lambda _{1})}},}

👁 {\displaystyle g_{\alpha }(G)\geqslant {\frac {1}{(1-\alpha )({\frac {\lambda _{1}}{d}})^{2}+\alpha }}.}

Losowo wygenerowany graf (przez łączenie krawędziami losowych wierzchołków) z dużym prawdopodobieństwem będzie miał wysokie współczynniki ekspansji.

Znane są również deterministyczne konstrukcje ekspanderów o dobrych własnościach. Przykładem jest rodzina grafów Ramanujan, o maksymalnej możliwej przerwie spektralnej. Kombinatoryczne konstrukcje takie jak zig-zag product, pozwalają uzyskiwać w prosty sposób grafy o dużej ekspansji wierzchołkowej.