Macierz normalna – kwadratowa macierz zespolona 👁 {\displaystyle U}
, która komutuje ze swoim sprzężeniem hermitowskim, tj.

👁 {\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger },}

gdzie 👁 {\displaystyle \cdot ^{\dagger }}
oznacza sprzężenie hermitowskie.

Normalność macierzy 👁 {\displaystyle U}
jest równoważna istnieniu takiej bazy ortonormalnej, że 👁 {\displaystyle PUP^{-1}}
jest macierzą diagonalną, przy czym 👁 {\displaystyle P}
jest macierzą przejścia do tej bazy ortonormalnej.

W szczególności, wszystkie macierze unitarne, hermitowskie i antyhermitowskie są macierzami normalnymi.

Uogólnieniem pojęcia macierzy normalnej jest operator normalny.

Nie wszystkie macierze normalne są unitarne lub hermitowskie, ponieważ ich wartościami własnymi mogą być dowolne liczby zespolone. Na przykład,👁 {\displaystyle U={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}}

nie jest ani hermitowska, ani antyhermitowska, ponieważ jej wartości własne są 👁 {\displaystyle 2,(1\pm i{\sqrt {3}})/2}
; jednak jest to macierz normalna, gdyż👁 {\displaystyle UU^{\dagger }={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=U^{\dagger }U.}

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Normal Matrix, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).