Symbole negacji^[1][2]

autorzy	zapis
Heyting	👁 {\displaystyle \neg p}
Schröder Peirce	👁 {\displaystyle p'}
Peano Russell	👁 {\displaystyle \sim p}
Hilbert	👁 {\displaystyle {\overline {p}}}
Łukasiewicz	👁 {\displaystyle Np}

Negacja (z łac. negatio^[3]), zaprzeczenie – pojęcie logiki i językoznawstwa o kilku znaczeniach:

• działanie jednoargumentowe na zbiorze zdań (funktor zdaniotwórczy), które każdemu zdaniu p przypisuje zdanie nie p^[4][5];
• wynik tego działania, tj. wartość funktora – zdanie mające postać nieprawda, że p, gdzie p jest zdaniem;
• odpowiednią funkcję na zbiorze wartości logicznych;
• odpowiedni funktor na zbiorze nazw^[6].

W logice formalnej, np. rachunku zdań, negacja ma różne zapisy:

• osobny symbol 👁 {\displaystyle (\neg p),}
  
• tylda 👁 {\displaystyle (\sim p),}
  
• prim 👁 {\displaystyle (p'),}
  
• makron 👁 {\displaystyle ({\overline {p}}).}
  

Odczytuje się to nieprawda, że p^[7] lub nie jest tak, że p^[8]. Inny symbol negacji – zwłaszcza jako funkcji boolowskiej i bramki logicznej – to angielska partykuła NOT.

Tablica prawdy dla negacji^[5]

👁 {\displaystyle p}	👁 {\displaystyle \neg p}
0	1
1	0

Niech 👁 {\displaystyle \mathbb {B} }
będzie dwuelementowym zbiorem wartości logicznych: 👁 {\displaystyle \mathbb {B} =\{0,1\}.}
Negacja 👁 {\displaystyle \neg \,:\mathbb {B} \to \mathbb {B} }
jest funkcją ze zbioru 👁 {\displaystyle \mathbb {B} }
w zbiór 👁 {\displaystyle \mathbb {B} ,}
określoną następująco:

👁 {\displaystyle \neg \,p=1-p}
^[9],

czyli

👁 {\displaystyle \neg \,0=1}

👁 {\displaystyle \neg \,1=0}
^[10].

Negację zdania p uważa się za prawdziwą, gdy zdanie p jest fałszywe, zaś za fałszywą, gdy zdanie p jest prawdziwe^[10][5][11]:

1 – prawda (lub zdanie prawdziwe),

0 – fałsz (lub zdanie fałszywe).

W klasycznym rachunku zdań negacja pojawia się w szeregu tautologii, tj. formuł prawdziwych zawsze, bez względu na prawdziwość zdań składowych. Odpowiadają im pewne tożsamości opisujące dopełnienie zbioru.

Zasada niesprzeczności (zwana także zasadą sprzeczności^[12]) głosi, że z dwóch zdań sprzecznych najwyżej jedno jest prawdziwe^[13] (lub równoważnie, co najmniej jedno jest fałszywe^[14]):

👁 {\displaystyle \neg (p\,\land \,\neg \,p)}
^[13][14],

gdzie 👁 {\displaystyle \land }
jest znakiem koniunkcji (oznacza spójnik ‘i’).

Przykład:

• Niech 👁 {\displaystyle p}
  będzie zdaniem Mam ciastko.
• Wówczas 👁 {\displaystyle \neg \,p}
  ma postać: Nie mam ciastka.
• Ich koniunkcja 👁 {\displaystyle p\,\land \,\neg \,p}
  to Mam ciastko i nie mam ciastka (jest to zdanie fałszywe).
• Zaprzeczenie tej koniunkcji 👁 {\displaystyle \neg (p\,\land \,\neg \,p)}
  (Nieprawda, że mam ciastko i nie mam ciastka) jest zdaniem prawdziwym.

Zasada wyłączonego środka mówi, że z dwóch zdań sprzecznych co najmniej jedno jest prawdziwe^[12]:

👁 {\displaystyle p\,\lor \,\neg \,p}
^[15][14],

gdzie 👁 {\displaystyle \lor }
jest znakiem alternatywy (oznacza spójnik lub).

Przykład:

• Niech zdanie 👁 {\displaystyle p}
  ma postać: Jutro będzie padał deszcz.
• Wówczas 👁 {\displaystyle \neg \,p}
  to Jutro nie będzie padał deszcz.
• Jedno z nich jest prawdziwe (możemy nie wiedzieć które).
• Ich alternatywa 👁 {\displaystyle p\,\lor \,\neg \,p}
  (Jutro będzie padał deszcz lub jutro nie będzie padał deszcz) jest zawsze prawdziwa.

Złożenie dwóch negacji jest równoważne wyjściowemu zdaniu^[15]:

👁 {\displaystyle \neg \,(\neg \,p)\Leftrightarrow p.}

Przykład:

• Niech zdanie 👁 {\displaystyle p}
  oznacza: Warszawa jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe).
• Wówczas 👁 {\displaystyle \neg \,p}
  ma postać: Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie fałszywe).
• Natomiast 👁 {\displaystyle \neg \,(\neg \,p)}
  można zapisać: Nieprawda, że Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe i równoważne zdaniu 👁 {\displaystyle p}
  ).

Negację zawierają też prawo kontrapozycji i prawa De Morgana.

👁 Image

Zobacz podręcznik w Wikibooks: Logika dla prawników – Negacja

👁 Image

Zobacz podręcznik w Wikibooks: Matematyka dla liceum – Logika

👁 Image

Zobacz hasło negacja w Wikisłowniku

• algebra Boole’a
• bramka NOT
• kwantyfikator

• Kazimierz Ajdukiewicz: Zarys logiki. Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1957. OCLC 749403627.
• Andrzej Grzegorczyk: Zarys logiki matematycznej. Wyd. 4. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1975. OCLC 749328557.
• Andrzej Mostowski: Logika matematyczna. Kurs uniwersytecki. Warszawa: 1948, seria: Monografie matematyczne t. 18. OCLC 250092935.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
• Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.
• Jerzy Słupecki, Katarzyna Hałkowska, Krystyna Piróg-Rzepecka: Logika matematyczna. Wyd. 2. popr. i uzup. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. ISBN 83-01-12958-1.

• Laurence R.L.R. Horn Laurence R.L.R., HeinrichH. Wansing HeinrichH., Negation, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, CSLI, Stanford University, 20 lutego 2020, ISSN 1095-5054 [dostęp 2020-02-21] (ang.).

Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Negacja&oldid=79489775”