Pole wektorowe – funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową^[1]. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.

Niech 👁 {\displaystyle (X,\mu )}
będzie przestrzenią z miarą. Rozważmy rodzinę przestrzeni Hilberta 👁 {\displaystyle (H_{x})_{x\in X}}
^[a]. Elementy produktu 👁 {\displaystyle \prod _{x\in X}H_{x}}
nazywamy polami wektorowymi.

Rodziną fundamentalną pól 👁 {\displaystyle \mu }
-mierzalnych nazywamy rodzinę 👁 {\displaystyle \Gamma =(h^{\alpha })_{\alpha \in \mathrm {A} }}
spełniającą warunki:

1. funkcja 👁 {\displaystyle X\ni x\mapsto (h^{\alpha }(x)|h^{\beta }(x))_{x}\in \mathbb {C} }
   jest 👁 {\displaystyle \mu }
   -mierzalna dla 👁 {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathrm {A} .}
   
2. 👁 {\displaystyle {\mbox{lin}}\{(h^{\alpha }(x))_{\alpha \in \mathrm {A} }\}=H_{x}}
   ^[b] dla każdego 👁 {\displaystyle x\in X.}
   

Pole wektorowe

👁 {\displaystyle h\in \prod _{x\in X}H_{x}}

nazywamy mierzalnym, gdy wszystkie funkcje 👁 {\displaystyle x\mapsto (h^{\alpha }(x)|h^{\beta }(x))_{x}}
są 👁 {\displaystyle \mu }
-mierzalne.

Pola 👁 {\displaystyle \mu }
-mierzalne stanowią podprzestrzeń liniową produktu 👁 {\displaystyle \prod _{x\in X}H_{x}}
^[c].

Przykładami pól wektorowych znanymi z fizyki są:

• pole grawitacyjne – pole wektorów natężenia pola grawitacyjnego,
• pole elektryczne – pole wektorów natężenia pola elektrycznego,
• pole magnetyczne – pole wektorów indukcji magnetycznej,
• pole prędkości i potencjał zespolony przepływu – określa prędkość przepływu płynu w każdym punkcie przestrzeni.

Teoretycznym badaniem pól fizycznych zajmuje się dział fizyki zwany teorią pola. W teorii tej pola przedstawiane są jako funkcje matematyczne.

Dywergencją pola wektorowego 👁 {\displaystyle \mathbf {A} ({\vec {r}})=[A_{x}({\vec {r}}),A_{y}({\vec {r}}),A_{z}({\vec {r}})]}
określonego w punktach 👁 {\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)}
przestrzeni 👁 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
nazywa się pole skalarne 👁 {\displaystyle \phi ({\vec {r}})}
równe sumie odpowiednich pochodnych cząstkowych, obliczonych na składowych 👁 {\displaystyle A_{x},A_{y},A_{z}}
wektora 👁 {\displaystyle \mathbf {A} }

👁 {\displaystyle \phi ({\vec {r}})={\mbox{div}}\,\mathbf {A} ({\vec {r}})={\frac {\partial A_{x}({\vec {r}})}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}({\vec {r}})}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}({\vec {r}})}{\partial z}}.}

Pole skalarne będące dywergencją pola wektorowego jest różne od zera w punktach, gdzie są źródłami pola wektorowego (np. pole elektrostatyczne ma dywergencję różną od zera w punktach, gdzie znajdują się ładunki elektryczne). Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Dywergencja.

Rotacją pola wektorowego 👁 {\displaystyle \mathbf {A} (x,y,z)}
nazywa się pole wektorowe takie że

👁 {\displaystyle \mathbf {B} (x,y,z)={\mbox{rot}}\mathbf {A} =\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .}

Rotacja przypisuje polu wektorowemu inne pole wektorowe. Jeśli rotacja 👁 {\displaystyle {\mbox{rot}}\mathbf {A} (x,y,z)}
jest różne od zera w punkcie 👁 {\displaystyle (x,y,z),}
to oznacza że wokół tego punktu pole wektorowe 👁 {\displaystyle \mathbf {A} (x,y,z)}
wiruje.

Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Rotacja.

• dywergencja pola
• gradient pola
• pole skalarne
• pole tensorowe
• rotacja pola
• teoria pola

• Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.