Transformacja Fouriera – transformacja całkowa, która przyjmuje funkcję rzeczywistą 👁 {\displaystyle f(t),t\in R}
jako daną wejściową i wyprowadza funkcję o wartościach zespolonych, która opisuje stopień, w jakim w funkcji wejściowej występują funkcje zespolone 👁 {\displaystyle f_{\omega }=e^{-i\omega t}.}
Transformatą Fouriera nazywa się funkcję, która powstaje w wyniku działania transformacji Fouriera.

Przykładowo, obliczanie transformaty Fouriera trwającego jakiś czas sygnału akustycznego oznacza obliczanie amplitud składowych zespolonych tego dźwięku (por. wykresy transformaty obok dla funkcji schodkowych).

Transformacja Fouriera jest operatorem liniowym działającym na przestrzeni funkcyjnej funkcji zmiennej rzeczywistej i dokonującym rozkładu danej funkcji 👁 {\displaystyle f}
w bazie ortonormalnej zespolonych funkcji eksponencjalnych 👁 {\displaystyle f_{\omega }=e^{-i\omega t},\omega \in R}
poprzez liczenie iloczynów skalarnych danej funkcji z funkcjami bazy.

Transformacja Fouriera została nazwana na cześć Jeana Baptiste’a Josepha Fouriera.

Podana tu zostanie definicja transformacji Fouriera w postaci zespolonej. Obok tej postaci występują także postacie całkowe transformaty Fouriera, wyrażone przez funkcje rzeczywiste sinus i cosinus, bez użycia jednostki urojonej; postacie te można otrzymać z transformaty Fouriera w postaci zespolonej; nie omawia jednak tego zagadnienia ten artykuł.

Zakładamy, że funkcja 👁 {\displaystyle f}
spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta, tj. jest to funkcja rzeczywista 👁 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,}
określona na przedziale 👁 {\displaystyle (a,b)}
oraz^[1]

1. 👁 {\displaystyle f(t)}
   jest przedziałami monotoniczna w przedziale 👁 {\displaystyle (a,b)}
   – tzn. jest w nim ograniczona i można podzielić ten przedział na skończoną liczbę podprzedziałów, wewnątrz których funkcja jest monotoniczna (czyli funkcja ta ma skończoną liczbę maksimów lokalnych i minimów lokalnych),
2. 👁 {\displaystyle f(t)}
   jest ciągła w przedziale 👁 {\displaystyle (a,b)}
   z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w każdym punkcie nieciągłości spełniony jest warunek

   👁 {\displaystyle f(t_{0})={\tfrac {1}{2}}[f(t_{0+})+f(t_{0-})].}
   

1. Całkowalność funkcji, gwarantowana przez spełnienie warunków Dirichleta, jest istotnym wymogiem w obliczaniu transformaty Fouriera, która opiera się na obliczaniu całek. (Ten sam wymóg dotyczy szeregów Fouriera, bowiem współczynniki rozwinięcia w szereg Fouriera są wyrażone za pomocą całek.)
2. Dla funkcji okresowej warunki Dirichleta wystarczy zbadać na dowolnym przedziale 👁 {\displaystyle (a,a+T)}
   o długości równej okresowi funkcji 👁 {\displaystyle T.}
   
3. Warunki Dirichleta są to warunki wystarczające do tego, by dla funkcji, która je spełnia, istniała całka Fouriera i szereg Fouriera. Jednak nie są to warunki konieczne – istnieje klasa funkcji, które nie spełniają warunków Dirichleta, a mimo to mają całkę i szereg Fouriera. Także dla funkcji uogólnionych, tzw. dystrybucji (np. delta Diraca), które mają istotne znaczenie w obliczeniach fizyki cząstek elementarnych, definiuje się transformaty Fouriera.

Transformacja z dziedziny czasu 👁 {\displaystyle t}
w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej) 👁 {\displaystyle \omega }
ma postać^[2]

👁 {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt,}

gdzie:

👁 {\displaystyle f(t)}
– funkcja (oryginał) w dziedzinie czasu,

👁 {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )}
– transformata Fouriera (widmo Fouriera) w dziedzinie pulsacji,

👁 {\displaystyle i}
– jednostka urojona.

Transformacja odwrotna zadana jest całką^[2]

👁 {\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega t}d\omega }

– pozwala odtworzyć funkcję pierwotną z jej widma.

Transformatę 👁 {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )}
funkcji rzeczywistej 👁 {\displaystyle f(t)}
można zapisać następująco^[3]:

👁 {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=|{\hat {f}}(\omega )|\cdot e^{i\theta (\omega )}\,,\qquad |\theta (\omega )|\leqslant \pi .}

Używa się następujących nazw:

• 👁 {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )}
  – charakterystyka widmową (gęstością widma, krótko: widmo) funkcji 👁 {\displaystyle f(t),}
  
• 👁 {\displaystyle |{\hat {f}}(\omega )|}
  – charakterystyka amplitudowa (widmo amplitudowe) funkcji 👁 {\displaystyle f(t),}
  
• 👁 {\displaystyle \theta (\omega )}
  – charakterystyka fazowa (widmo fazowe) funkcji 👁 {\displaystyle f(t).}
  

Widmo amplitudowe jest funkcją rzeczywistą; można je obliczyć ze wzoru:

👁 {\displaystyle |{\hat {f}}(\omega )|={\sqrt {Re({\hat {f}}(\omega ))^{2}+Im({\hat {f}}(\omega ))^{2}}}.}

Widmo fazowe jest funkcją rzeczywistą; można je obliczyć ze wzorów

👁 {\displaystyle \cos \theta (\omega )={\frac {Re({\hat {f}}(\omega )}{\sqrt {Re({\hat {f}}(\omega ))^{2}+Im({\hat {f}}(\omega ))^{2}}}},}

👁 {\displaystyle \sin \theta (\omega )=-\,{\frac {Im({\hat {f}}(\omega )}{\sqrt {Re({\hat {f}}(\omega ))^{2}+Im({\hat {f}}(\omega ))^{2}}}}.}

Stąd:

👁 {\displaystyle \theta (\omega )=\operatorname {arctg} {\Big [}{\tfrac {\sin \theta (\omega )}{\cos \theta (\omega )}}{\Big ]}.}

Sens transformaty Fouriera jest następujący:

Transformata 👁 {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )}
jest liczbą zespoloną, której moduł i faza określają amplitudę i fazę składowej o pulsacji 👁 {\displaystyle \omega ,}
wchodzącej w skład sygnału 👁 {\displaystyle f(t).}
Obliczenie transformaty Fouriera pozwala więc znaleźć amplitudy i fazy wszystkich takich składowych w sygnale.

Przykład obliczeń wraz w wykresami funkcji, opisujących charakterystyki widmową, amplitudową i fazową podano dalej.

Unitarną transformacją Fouriera z dziedziny czasu 👁 {\displaystyle t}
w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej) 👁 {\displaystyle \omega }
nazywa się transformacją zadaną wzorem, który różni się od wzoru wyżej podanego jedynie stałą, stojącą przed znakiem całki, tj.^[4]

👁 {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt.}

Transformacja odwrotna unitarna

👁 {\displaystyle f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega t}d\omega .}

• Czynnik 👁 {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}
  przed transformatą i transformatą odwrotną występuje umownie; zamiast takiej postaci może występować czynnik 👁 {\displaystyle {\tfrac {1}{2\pi }}}
  przed transformatą prostą, albo (częściej) przed transformacją odwrotną.
• Jeżeli jednak czynnik wynosi 👁 {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}},}
  wtedy transformacja i transformacja odwrotna są izometriami przestrzeni 👁 {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).}
  
• Pierwsza z dwu powyższych definicji jest popularniejsza, nie posiada jednak własności unitarności.

W definicji transformaty Fouriera w postaci zespolonej mamy częstotliwości 👁 {\displaystyle \omega }
w zakresie od 👁 {\displaystyle -\infty }
do 👁 {\displaystyle +\infty ,}
występujące w funkcji 👁 {\displaystyle f_{\omega }=e^{-i\omega t}.}
W klasycznym rozumieniu teorii dotyczącej drgań i fal częstości kołowe 👁 {\displaystyle \omega }
są wielkościami dodatnimi. Co oznaczają więc ujemne wartości częstotliwości? Sytuacja jest tu nieco inna niż w opisie zjawisk drgań i fal za pomocą liczb rzeczywistych, gdzie definiuje się pojęcie częstotliwości. Tu mamy do czynienia z funkcjami 👁 {\displaystyle f_{\omega }}
zespolonymi o częstotliwościach 👁 {\displaystyle \omega }
z zakresu liczb rzeczywistych. Każda funkcja może być przedstawiona jako obracający się w płaszczyźnie zespolonej wektor (wielkość obrotu zależy od czasu 👁 {\displaystyle t}
występującego w każdej takiej funkcji), którego koniec porusza się po okręgu o promieniu równym 1 (tzw. okrąg jednostkowy).

Dla dodatnich wartości 👁 {\displaystyle \omega }
wektory 👁 {\displaystyle f_{\omega }}
obracają się przeciwnie do wskazówek zegara, dla ujemnych wartości 👁 {\displaystyle \omega }
wektory 👁 {\displaystyle f_{\omega }}
obracają się zgodnie ze wskazówkami zegara.

Piękną ilustrację transformacji Fouriera, w tym sens ujemnych częstotliwości, przedstawia animowane omówienie pt. But what is the Fourier Transform? A visual introduction

Transformatę Fouriera oznacza się także symbolem^[5]

👁 {\displaystyle F(j\omega )\equiv {\hat {f}}(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt,}

gdzie 👁 {\displaystyle j\equiv i}
– jednostka urojona (oznaczenie stosowane często w elektrotechnice, teorii przetwarzania sygnałów).

Oznaczenie to podkreśla, iż mamy do czynienia z transformatą Fouriera w postaci zespolonej, by odróżnić ją od transformat Fouriera kosinusowej i sinusowej. Używa się także symboliki 👁 {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}[F(j\omega )]}
na oznaczenie transformacji odwrotnej; wtedy mamy:

👁 {\displaystyle f(t)={\mathcal {F}}^{-1}[F(j\omega )].}

Mamy daną funkcję

👁 {\displaystyle f(t)=\left\{{\begin{aligned}&t&&{\text{dla}}~~|t|<1\\&{\tfrac {1}{2}}\cdot {\text{ sgn}}(t)&&{\text{dla}}~~|t|=1\\&0&&{\text{dla}}~~|t|>1\end{aligned}}\right.}

Obliczamy

👁 {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt,}

czyli

👁 {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int \limits _{-1}^{1}te^{-i\omega t}dt=\int \limits _{-1}^{1}t\cos \omega t\,dt+i\int \limits _{-1}^{1}t\sin \omega t\,dt.}

Część rzeczywista obliczanej transformaty jest równa zeru z uwagi na nieparzystość funkcji 👁 {\displaystyle t\cos \omega t}
, natomiast część zespolona ma wartość

👁 {\displaystyle \int \limits _{-1}^{1}t\sin \omega t\,dt=2\int \limits _{0}^{1}t\sin \omega t\,dt=-2t{\frac {\cos \omega t}{\omega }}{\Bigg |}_{0}^{1}+{\frac {2}{\omega }}\int \limits _{0}^{1}\cos \omega t\,dt=-2{\frac {\cos \omega }{\omega }}+2{\frac {\sin \omega }{\omega ^{2}}}.}

Stąd

👁 {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=0+i{\frac {2}{\omega ^{2}}}(\omega \cos \omega -\sin \omega ).}

Widmo amplitudowe czyli moduł transformaty 👁 {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )}
:

👁 {\displaystyle |{\hat {f}}(\omega )|={\sqrt {Re({\hat {f}}(\omega ))^{2}+Im({\hat {f}}(\omega ))^{2}}}={\Bigg |}{\frac {2}{\omega ^{2}}}(\omega \cos \omega -\sin \omega ){\Bigg |}.}

Wyniki obliczeń pokazano na wykresach.

Obliczanie transformaty Fouriera w ogólnym przypadku nie jest proste i wymaga na ogół całkowania numerycznego. Poniżej podano kod programu w języku Python, który liczy zespoloną transformatę Fouriera wg wzoru całkowego i rysuje wykresy jej części rzeczywistej, urojonej oraz modułu.

Użytkownik może ustalić:

1. Definicję funkcji 👁 {\displaystyle f(x)}
   (linia nr 15).
2. Liczbę 👁 {\displaystyle N}
   określającą zakres częstotliwości 👁 {\displaystyle \omega \in <-N,N>}
   (linia nr 32).
3. Program można testować, korzystając np. z colab google online.

importnumpyasnp
fromscipy.integrateimport quad
importmatplotlib.pyplotasplt

''' Definicja funkcji f(t)=t
def f(t):
 if np.abs(t) < 1:
 return t
 elif np.abs(t) == 1:
 return 0.5 * np.sign(t)
 else:
 return 0
'''

# Definicja funkcji f(t) - impuls prostokątny
deff(t):
 if abs(t-a) < 1:
 return 1
 elif abs(t-a) == 1:
 return 0.5 * np.sign(t)
 else:
 return 0

# Definicja transformacji Fouriera
deffourier_transform(omega):
 integrand = lambda t: f(t) * np.exp(-1j * omega * t)
 real_part = quad(lambda t: np.real(integrand(t)), -np.inf, np.inf)[0]
 imag_part = quad(lambda t: np.imag(integrand(t)), -np.inf, np.inf)[0]
 return real_part + 1j * imag_part

# Zakres częstotliwości omega
N = 10
omega_values = np.linspace(-N, N, 500)
fourier_values = np.array([fourier_transform(omega) for omega in omega_values])

# Wykresy: Re, Im oraz |F(ω)|
plt.figure(figsize=(14, 20))

# Wykres części rzeczywistej
plt.subplot(3, 1, 1)
plt.plot(omega_values, fourier_values.real, label=r"Re$\{\hat{f}(\omega)\}$", color='blue')
plt.title("Część rzeczywista transformaty Fouriera", fontsize=30)
plt.xlabel(r"$\omega$", fontsize=20)
plt.ylabel(r"Re$\{\hat{f}(\omega)\}$", fontsize=14)
plt.grid(True)
plt.legend(fontsize=20)

# Wykres części urojonej
plt.subplot(3, 1, 2)
plt.plot(omega_values, fourier_values.imag, label=r"Im$\{\hat{f}(\omega)\}$", color='red')
plt.title("Część urojona transformaty Fouriera", fontsize=30)
plt.xlabel(r"$\omega$", fontsize=20)
plt.ylabel(r"Im$\{\hat{f}(\omega)\}$", fontsize=14)
plt.grid(True)
plt.legend(fontsize=20)

# Wykres modułu |F(ω)|
plt.subplot(3, 1, 3)
plt.plot(omega_values, np.abs(fourier_values), label=r"$|\hat{f}(\omega)|$", color='green')
plt.title("Moduł transformaty Fouriera", fontsize=30)
plt.xlabel(r"$\omega$", fontsize=20)
plt.ylabel(r"$|\hat{f}(\omega)|$", fontsize=14)
plt.grid(True)
plt.legend(fontsize=20)

plt.tight_layout()
plt.show()

Obliczanie transformaty Fouriera zadane jest de facto poprzez całki niewłaściwe, gdyż zmienna 👁 {\displaystyle t}
jest określona w granicach od 👁 {\displaystyle -\infty }
do 👁 {\displaystyle +\infty .}
Obliczanie takich całek sprowadza się do liczenia tzw. wartości głównej całki (wg definicji podanej przez Cauchy’ego)^[2], tj. do liczenia jej jako granicy z całek obliczonych na skończonym przedziale całkowania:

👁 {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\lim _{T\to +\infty }\int \limits _{-T}^{T}f(t)\ e^{-it\omega }\,dt.}

Rzeczywiste sygnały zawsze mają skończony czas trwania. Natomiast można je teoretycznie przedłużać do nieskończoności – wtedy ma zastosowanie powyższy wzór.

Także funkcja pierwotna rekonstruowana z jej transformaty 👁 {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )}
poprzez transformację odwrotną jest zadana przez całkę niewłaściwą, gdyż zmienna 👁 {\displaystyle \omega }
jest określona w granicach od 👁 {\displaystyle -\infty }
do 👁 {\displaystyle +\infty .}
I także obliczanie tej całki sprowadza się do liczenia wartości głównej całki^[2], tj. do liczenia jej jako granicy z całek obliczonych na skończonym przedziale całkowania wg wzoru:

👁 {\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\lim _{\omega \to +\infty }\int \limits _{-\omega }^{\omega }{\hat {f}}(u)\ e^{itu}\,du.}

W całce Fouriera funkcje harmoniczne 👁 {\displaystyle e^{-i\omega t}=\cos \omega t-i\sin \omega t,\omega \in R}
mnożone są przez sygnał 👁 {\displaystyle f(t);}
wynikowa całka dostarcza informacji nt. zawartości poszczególnych harmonicznych, wchodzących w skład sygnału (dokonuje rozkładu sygnału na jego widmo).

Transformacja Laplace’a wykonuje podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze: Za pomocą całki Laplace’a funkcja rzeczywista 👁 {\displaystyle f(t),}
reprezentująca zmieniający się w czasie 👁 {\displaystyle t}
sygnał (np. pole elektryczne fali, przychodzącej do odbiornika), jest transformowana na płaszczyznę S (płaszczyznę zespoloną); dokonuje się to poprzez scałkowanie iloczynu funkcji 👁 {\displaystyle f(t)}
z wyrażeniami typu 👁 {\displaystyle e^{-st}}
dla czasu 👁 {\displaystyle t}
od 👁 {\displaystyle -\infty }
do 👁 {\displaystyle +\infty {:}}

👁 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt;}

przy tym 👁 {\displaystyle s=x+i\omega }
jest liczbą zespoloną, stałą w procesie obliczania całki.

Funkcje 👁 {\displaystyle e^{-st}}
w całce Laplace’a de facto mają postać 👁 {\displaystyle e^{-st}=e^{-xt}\cdot e^{-i\omega t}.}
Dzięki temu pozwalają dokonać nie tylko analizy zawartości harmonicznych 👁 {\displaystyle e^{-i\omega t}}
w sygnale 👁 {\displaystyle f(t),}
ale również efektów zaniku sygnału lub jego wzrastania w czasie, poprzez funkcję 👁 {\displaystyle e^{-xt}.}
Na przykład krzywa sinusoidalna tłumiona może być modelowana za pomocą transformacji Laplace’a. Transformacja Fouriera stanowi więc szczególny przypadek przekształcenia Laplace’a dla 👁 {\displaystyle s=i\omega .}

Podobnie uogólnieniem dyskretnej transformaty Fouriera stanowi transformata Z, z którą powiązana jest transformata Laplace’a (zob. metoda Tustina).

W tym rozdziale wprowadzono trzeci sposób definiowania transformaty Fouriera za pomocą częstotliwości 👁 {\displaystyle \nu ,}
przy czym zachodzi związek 👁 {\displaystyle \omega ={2\pi }\nu .}

• W przypadku jednowymiarowym funkcja 👁 {\displaystyle f}
  jest klasy 👁 {\displaystyle L^{1},}
  czyli jest całkowalna w przedziale 👁 {\displaystyle (-\infty ,\infty ).}
  
• 👁 {\displaystyle {\hat {f}}}
  jest funkcją ciągłą. Nie musi natomiast być całkowalna w 👁 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
  
• Jeśli 👁 {\displaystyle g(x)=f(x-\alpha ),}
  to 👁 {\displaystyle {\hat {g}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(x)\ e^{-2\pi ix\nu }\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x-\alpha )\ e^{-2\pi i(x-\alpha )\nu }e^{-2\pi i\alpha \nu }\,dx=e^{-2\pi i\alpha \nu }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-2\pi it\nu }\,dt=e^{-2\pi i\alpha \nu }{\hat {f}}(\nu ).}
  
• Jeśli 👁 {\displaystyle \alpha \neq 0}
  i 👁 {\displaystyle g(t)=f\left({\frac {t}{\alpha }}\right),}
  to 👁 {\displaystyle {\hat {g}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(x)\ e^{-2\pi ix\nu }\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f\left({\frac {x}{\alpha }}\right)\ e^{-2\pi i{\frac {x}{\alpha }}(\alpha \nu )}\alpha \,d\left({\frac {x}{\alpha }}\right)=\alpha \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-2\pi it(\alpha \nu )}\,dt=\alpha {\hat {f}}(\alpha \nu ).}
  
• 👁 {\displaystyle {\widehat {f*g}}={\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}{\hat {g}},}
  gdzie operacja 👁 {\displaystyle *}
  oznacza splot funkcji f i g
• Jeśli pochodna funkcji 👁 {\displaystyle f}
  należy do 👁 {\displaystyle L^{1}}
  i funkcja zeruje się poza pewnym przedziałem skończonym, to z całkowania przez części wynika, że: 👁 {\displaystyle {\hat {f'}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f'(x)e^{-2\pi ix\nu }\,dx=f(x)e^{-2\pi ix\nu }{\Big |}_{-\infty }^{\infty }+2\pi i\nu \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\nu }\,dx=2\pi i\nu {\hat {f}}(\nu ).}
  

W przestrzeniach funkcji dobrze określonych, takich jak 👁 {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
lub przestrzeń funkcji szybko malejących w nieskończoności 👁 {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}
transformacja Fouriera przyporządkowuje wzajemnie jednoznacznie funkcji (oryginałowi) jej transformatę. Oryginał i jego transformata określana są wtedy jako para fourierowska.

W tabeli zestawiony jest oryginał oraz jego transformaty w dziedzinie częstotliwości i pulsacji^[6].

Uwaga: Tu 👁 {\displaystyle x}
oznacza zmienną funkcji pierwotnej 👁 {\displaystyle f,}
zamiast oznaczenia 👁 {\displaystyle t.}

Dystrybucje, określane też jako funkcje uogólnione nie posiadają transformat w sensie określonym przez powyższe definicje. Możliwe jest jednak uogólnienie pojęcia transformaty i przyjęcie, że uzyskujemy w wyniku przejścia do granicy ciągu transformat lub wychodząc od szeregu Fouriera funkcji okresowej.

Zależność określającą transmitancję widmową 👁 {\displaystyle H(j\omega )}
można wyznaczyć:

• przechodząc z transmitancji operatorowej przez podstawienie 👁 {\displaystyle s=j\omega ,}
  
• uzyskując odpowiedź układu dynamicznego na dowolny sygnał wejściowy reprezentowany przez złożenie harmonicznych składowych sinusoidalnych (zob. też charakterystyka sinusoidalna, charakterystyka częstotliwościowa),
• za pomocą transformaty Fouriera.

Pojedyncza zespolona składowa harmoniczna o amplitudzie 👁 {\displaystyle A_{we},}
pulsacji 👁 {\displaystyle \omega }
i fazie 👁 {\displaystyle p_{we}}

👁 {\displaystyle x(t)=A_{we}e^{j(\omega t+p_{we})},}

(gdzie 👁 {\displaystyle j}
oznacza jednostkę urojoną), generuje odpowiedź na wyjściu układu w postaci sygnału sinusoidalnego o amplitudzie 👁 {\displaystyle A_{wy}}
i fazie 👁 {\displaystyle p_{wy}{:}}

👁 {\displaystyle y(t)=A_{wy}e^{j(\omega t+p_{wy})}.}

Warto zwrócić uwagę na fakt, że częstotliwość 👁 {\displaystyle \omega }
pozostała taka sama, jedynie amplituda i faza sygnału uległy zmianie w układzie. Transmitancja 👁 {\displaystyle H(j\omega )}
opisuje charakter tych zmian w całym spektrum częstotliwości (tj. dla każdej częstotliwości 👁 {\displaystyle \omega }
). Moduł transmitancji opisuje wzmocnienie układu:

👁 {\displaystyle {\frac {A_{wy}}{A_{we}}}=|H(j\omega )|,}

a argument tej transmitancji opisuje przesunięcie fazowe wprowadzane przez układ:

👁 {\displaystyle p_{wy}-p_{we}=\arg(H(j\omega )).}

Transmitancja 👁 {\displaystyle H(j\omega )}

Dla przypadku układów dyskretnych wyrażenie

👁 {\displaystyle {\frac {y(i)}{u(i)}}=z^{-k}{\frac {B(z^{-1})}{A(z^{-1})}}{\Bigg |}_{z=e^{j\omega T_{p}}}=K(e^{-j\omega T_{p}})}

definiuje dyskretną transmitancję widmową.

Transformatę Fouriera można określić dla funkcji 👁 {\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),}
gdzie 👁 {\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
jest przestrzenią wektorową funkcji całkowalnych na 👁 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
za pomocą wzoru^[7]:

👁 {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\ e^{-i(x,\omega )}\,dx,}

gdzie:

• 👁 {\displaystyle i}
  – jednostka urojona 👁 {\displaystyle (i^{2}=-1),}
  
• 👁 {\displaystyle (x,\omega )}
  – iloczyn skalarny wektorów 👁 {\displaystyle x,\omega \in \mathbb {R} ^{n}.}
  

Tw. 1. Transformata 👁 {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )}
jest funkcją istotnie ograniczoną: 👁 {\displaystyle {\hat {f}}\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}
(wynika to z twierdzenia Riemanna-Lebesgue’a).

Tw. 2. W przypadku gdy funkcja 👁 {\displaystyle f}
jest ponadto całkowalna z kwadratem (czyli 👁 {\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
), transformata 👁 {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )}
jest również całkowalna z kwadratem. Innymi słowy, transformacja Fouriera jest odwzorowaniem przestrzeni:

👁 {\displaystyle {\mathcal {F}}\colon L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n}).}

Tw. 3. Twierdzenie Plancherela wówczas mówi, że odwzorowanie to przedłuża się do izometrii przestrzeni 👁 {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
na siebie.

• dyskretna transformata Fouriera
• funkcja charakterystyczna
• procesor Fouriera
• szereg Fouriera
• transformata Hilberta
• transformata Laplace’a

• TadeuszT. Trajdos TadeuszT., Matematyka dla inżynierów: kurs wyższy, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1974, s. 555–567 [dostęp 2024-11-10] (pol.).
• Wojciech Żakowski, Wacław Leksiński: Matematyka Część 4. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2017, s. 351–371. ISBN 978-83-01-19359-1. (pol.).

Polskojęzyczne

• Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-17)].
• JacekJ. Jakimiuk JacekJ., Różne oblicza transformaty Fouriera, „Delta”, czerwiec 2024, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-06-04].

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fourier Transform, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
• Interaktywne wprowadzenie do transformacji Fouriera [Angielski z animacjami]
• 👁 publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać
  Grant Sanderson, But what is the Fourier Transform? A visual introduction, kanał 3blue1brown, YouTube, 26 stycznia 2018 [dostęp 2021-03-15].
• 👁 publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać
  Aled Walker, F is for Fourier Transform (ang.), Oxford University Mathematical Institute, maths.ox.ac.uk, 19 sierpnia 2022 [dostęp 2023-05-29].