Kompleti i të gjitha funksioneve nga një bashkësi 👁 {\displaystyle X}
në një bashkësi 👁 {\displaystyle Y}
zakonisht shënohet si

👁 {\displaystyle Y^{X},}

e cila lexohet si 👁 {\displaystyle Y}
në fuqinë 👁 {\displaystyle X}
.

Ky shënim është i njëjtë me shënimin për produktin kartezian të një familjeje kopjesh të 👁 {\displaystyle Y}
indeksuar nga 👁 {\displaystyle X}
:

👁 {\displaystyle Y^{X}=\prod _{x\in X}Y.}

Identiteti i këtyre dy shënimeve motivohet nga fakti se një funksion 👁 {\displaystyle f}
mund të identifikohet me elementin e prodhimit kartezian të tillë që komponenti i indeksit 👁 {\displaystyle x}
është 👁 {\displaystyle f(x)}
.

Kur 👁 {\displaystyle Y}
ka dy elemente, 👁 {\displaystyle Y^{X}}
shënohet zakonisht 👁 {\displaystyle 2^{X}}
dhe quhet grupi i fuqive i 👁 {\displaystyle X}
Mund të identifikohet me grupin e të gjitha nëngrupeve të 👁 {\displaystyle X}
, përmes korrespondencës një-për-një që lidhet me secilën nëngrup 👁 {\displaystyle S\subseteq X}
funksionin 👁 {\displaystyle f}
sikurse 👁 {\displaystyle f(x)=1}
nëse 👁 {\displaystyle x\in S}
dhe 👁 {\displaystyle f(x)=0}
ndryshe.

Në shënimin funksional, funksionit i jepet menjëherë një emër, si p.sh 👁 {\displaystyle f}
, dhe përkufizimi i tij jepet nga çfarë 👁 {\displaystyle f}
i bën hyrjes 👁 {\displaystyle x}
, duke përdorur një formulë në kufiza të 👁 {\displaystyle x}
. Për shembull, funksioni që merr një numër real si hyrje dhe nxjerr atë numër plus 1 shënohet me

👁 {\displaystyle f(x)=x+1}
.

Nëse një funksion përcaktohet me këtë shënim, fytyrat dhe shëmbëllimet e tij merren në mënyrë të heshtur si të dyja 👁 {\displaystyle \mathbb {R} }
, bashkësia e numrave realë. Nëse formula nuk mund të vlerësohet në të gjithë numrat realë, atëherë fytyrat në mënyrë të heshtur merren si nëngrupi maksimal i 👁 {\displaystyle \mathbb {R} }
mbi të cilën mund të vlerësohet formula.

Një shembull më i ndërlikuar është funksioni

👁 {\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}+1)}
.

Në këtë shembull, funksioni 👁 {\displaystyle f}
merr një numër real si hyrje, e ngre në katror, pastaj i shton 1 rezultatit, më pas merr sinusin e rezultatit dhe e kthen rezultatin përfundimtar si dalje.

Shënimi funksional u përdor për herë të parë nga Leonhard Euler në 1734.^[5] Disa funksione të përdorura gjerësisht përfaqësohen nga një simbol i përbërë nga disa shkronja (zakonisht dy ose tre, përgjithësisht një shkurtim i emrit të tyre). Në këtë rast, në vend të kësaj përdoret zakonisht një tip romak, si p.sh. " sin " për funksionin sinus.

Shënimi me shigjetë e përcakton rregullin e një funksioni në rresht. Për shëmbull, 👁 {\displaystyle x\mapsto x+1}
është funksioni që merr një numër real si hyrje dhe në dalje jep atë plus 1. Prapë bashkësitë nuk janë të dhëna kështu që implikohet 👁 {\displaystyle \mathbb {R} }
.

👁 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto x^{2}.\end{aligned}}}

Kjo përcakton një funksion sqr nga numrat e plotë në numrat e plotë që kthen katrorin e hyrjes së tij.

Shënimi i indeksit përdoret shpesh në vend të shënimit funksional. Kjo do të thotë, në vend që të shkruhet 👁 {\displaystyle f(x)}
, shkruhet 👁 {\displaystyle f_{x}.}

Ky është zakonisht rasti për funksionet, fytyra e të cilëve është bashkësia e numrave natyrorë . Një funksion i tillë quhet varg, dhe, në këtë rast, element 👁 {\displaystyle f_{n}}
quhet elementi n i vargut.

Funksionet shpesh përcaktohen nga një formulë që përshkruan një kombinim të veprimeve aritmetike dhe funksioneve të përcaktuara më parë; një formulë e tillë lejon llogaritjen e vlerës së funksionit nga vlera e çdo elementi të bashkësisë së fytyrave. Për shembull, në rastin e mësipërm, 👁 {\displaystyle f}
mund të përcaktohet me formulë 👁 {\displaystyle f(n)=n+1}
, për 👁 {\displaystyle n\in \{1,2,3\}}
.

Kur një funksion përcaktohet në këtë mënyrë, përcaktimi i fytyrave të tij ndonjëherë është i vështirë. Nëse formula që përcakton funksionin përmban pjesëtim, vlerat e ndryshores për të cilën emëruesi është zero duhet të përjashtohen nga fytyrat; Kështu, për një funksion të ndërlikuar, përcaktimi i fytyrave kalon përmes llogaritjes së zerove të funksioneve ndihmëse.

Për shembull, 👁 {\displaystyle f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}}
përcakton një funksion 👁 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
fytyra e të cilit është 👁 {\displaystyle \mathbb {R} ,}
sepse 👁 {\displaystyle 1+x^{2}}
është gjithmonë pozitive nëse 👁 {\displaystyle x}
është një numër real. Në anën tjetër, 👁 {\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}
përcakton një funksion nga realet në reale fytyra e të cilave reduktohet në intervalin [ -1, 1 ] .

Funksionet shpesh klasifikohen sipas natyrës së formulave që i përcaktojnë ato:

• Një funksion kuadratik është një funksion që mund të shkruhet 👁 {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}
  ku a, b, c janë konstante .
• Në përgjithësi, një funksion polinomial është një funksion që mund të përcaktohet nga një formulë që përfshin vetëm mbledhje, zbritje, shumëzime dhe ngritje në fuqi të fuqive jonegative. Për shembull, 👁 {\displaystyle f(x)=x^{3}-3x-1}
  dhe 👁 {\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1}
  janë funksione polinomiale të 👁 {\displaystyle x}
  .
• Një funksion racional është i njëjtë, duke lejuar edhe pjesëtimin, si p.sh 👁 {\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{x+1}},}
  dhe 👁 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}.}
  
• Një funksion algjebrik është i njëjtë, me rrënjë të indeksit <i>n</i> dhe rrënjë të polinomeve të lejuara gjithashtu.
• Një funksion elementar është i njëjtë, me logaritme dhe funksione eksponenciale të lejuara.

Një funksion 👁 {\displaystyle f\colon X\to Y,}
me fytyrë 👁 {\displaystyle X}
dhe shëmbëllim 👁 {\displaystyle Y}
, është bijektiv, nëse për çdo 👁 {\displaystyle y}
në 👁 {\displaystyle Y}
, ka një dhe vetëm një element 👁 {\displaystyle x}
në 👁 {\displaystyle X}
të tillë që 👁 {\displaystyle y=f(x)}
. Në këtë rast, funksioni i anasjelltë i 👁 {\displaystyle f}
është funksioni 👁 {\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}
që hartat 👁 {\displaystyle y\in Y}
tek elementi 👁 {\displaystyle x\in X}
të tillë që 👁 {\displaystyle y=f(x)}
. Për shembull, logaritmi natyror është një funksion bijektiv nga numrat realë pozitivë në numrat realë. Kështu, ai ka një të anasjelltë, të quajtur funksioni eksponencial, që harton numrat realë në numrat pozitivë.

Nëse një funksion 👁 {\displaystyle f\colon X\to Y}
nuk është bijektiv, mund të ndodhë që të zgjidhet një nënbashkësi 👁 {\displaystyle E\subseteq X}
dhe 👁 {\displaystyle F\subseteq Y}
i tillë që kufizimi i 👁 {\displaystyle f}
në 👁 {\displaystyle E}
është një bijeksion nga 👁 {\displaystyle E}
në 👁 {\displaystyle F}
, dhe kështu ka një invers. Funksionet trigonometrike të anasjellta përcaktohen në këtë mënyrë. Për shembull, funksioni kosinus indukton, duke e kufizuar, një bijeksion nga intervali 👁 {\displaystyle [0,\pi ]}
në intervalin [ -1, 1 ] dhe funksioni i tij i kundërt, i quajtur arkkosinus, harton [ -1, 1 ] në 👁 {\displaystyle [0,\pi ]}
. Funksionet e tjera trigonometrike të anasjellta janë përcaktuar në mënyrë të ngjashme.

Më përgjithësisht, duke pasur parasysh një lidhje binare 👁 {\displaystyle R}
ndërmjet dy grupeve 👁 {\displaystyle X}
dhe 👁 {\displaystyle Y}
, le të jetë 👁 {\displaystyle E}
një nëngrup i 👁 {\displaystyle X}
i tillë që, për çdo 👁 {\displaystyle x\in E,}
aty ka disa 👁 {\displaystyle y\in Y}
të tilla që 👁 {\displaystyle xRy}
. Nëse dikush ka një kriter që lejon zgjedhjen e një 👁 {\displaystyle y}
të tillë për çdo 👁 {\displaystyle x\in E,}
kjo përcakton një funksion 👁 {\displaystyle f\colon E\to Y,}
quhet funksion i nënkuptuar, sepse përkufizohet në mënyrë të nënkuptuar nga relacioni R.

Për shembull, ekuacioni i rrethit njësi 👁 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
përcakton një lidhje me numrat realë. Nëse −1 < x < 1 ka dy vlera të mundshme të y, një pozitive dhe një negative. Për x = ± 1, këto dy vlera bëhen të barabarta me 0. Përndryshe, nuk ka vlerë të mundshme të y . Kjo do të thotë se ekuacioni përcakton dy funksione të nënkuptuara me fytyra [ −1, 1 ] dhe shëmbëllimet përkatëse [ 0, +∞) dhe (−∞, 0] .

Shumë funksione mund të përkufizohen si integrale të pacaktuara të një funksioni tjetër. Ky është rasti i logaritmit natyror, i cili është integrali i pacaktuar i 👁 {\displaystyle 1/x}
që është 0 për x = 1 . Një shembull tjetër i zakonshëm është funksioni i gabimit .

Jepet një funksion 👁 {\displaystyle f\colon X\to Y,}
grafiku i tij është, formalisht, grupi

👁 {\displaystyle G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.}

Në rastin e shpeshtë kur X dhe Y janë nënbashkësi të numrave realë (ose mund të identifikohen me nënbashkësi të tilla, p.sh. intervale ), një element 👁 {\displaystyle (x,y)\in G}
mund të identifikohet me një pikë që ka koordinata x, y në një sistem koordinativ 2-dimensional, p.sh. rrafshin kartezian . Pjesë të kësaj mund të krijojnë një grafik që përfaqëson (pjesë të) funksionit. Përdorimi i grafikëve është aq i kudondodhur sa edhe ato quhen grafiku i funksionit .

Jepen dy funksione 👁 {\displaystyle f\colon X\to Y}
dhe 👁 {\displaystyle g\colon Y\to Z}
të tillë që fytyra e 👁 {\displaystyle g}
është shëmbëllimi i 👁 {\displaystyle f}
, përbërja e tyre është funksioni 👁 {\displaystyle g\circ f\colon X\rightarrow Z}
i përcaktuar nga

👁 {\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)).}

Kjo dmth se vlera e 👁 {\displaystyle g\circ f}
fitohet duke zbatuar fillimisht f në x për të marrë 👁 {\displaystyle y=f(x)}
dhe më pas duke zbatuar g në rezultatin y për të marrë 👁 {\displaystyle g(y)=g(f(x))}
. Në shënim funksioni që zbatohet i pari shkruhet gjithmonë djathtas.

Përbërja 👁 {\displaystyle g\circ f}
është një veprim mbi funksionet që përcaktohet vetëm nëse shëmbëllimi i funksionit të parë është fytyra e të dytit. Edhe kur të dyja 👁 {\displaystyle g\circ f}
dhe 👁 {\displaystyle f\circ g}
plotësojnë këto kushte, përbërja nuk është domosdoshmërisht ndërruese, domethënë funksionet 👁 {\displaystyle g\circ f}
dhe 👁 {\displaystyle f\circ g}
nuk duhet të jetë të barabartë, por mund të japin vlera të ndryshme për të njëjtin argument. Për shembull, le të jenë 👁 {\displaystyle f(x)=x^{2}}
dhe 👁 {\displaystyle g(x)=x+1}
, atëherë 👁 {\displaystyle g(f(x))=x^{2}+1}
dhe 👁 {\displaystyle f(g(x))=(x+1)^{2}}
janë njëlloj vetëm për 👁 {\displaystyle x=0.}

Përbërja e funksionit është shoqëruese në kuptimin që, nëse një nga 👁 {\displaystyle (h\circ g)\circ f}
dhe 👁 {\displaystyle h\circ (g\circ f)}
përkufizohet, pastaj përkufizohet edhe tjetra dhe janë të barabarta. Kështu, shkruhet

👁 {\displaystyle h\circ g\circ f=(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).}

Le të jetë 👁 {\displaystyle f\colon X\to Y.}
Imazhi nën fi një elementi x të fytyrave X është f(x). Nëse A është një nënbashkësi eX, atëherë imazhi i A nën f, i shënuar f(A), është nënbashkësia e shëmbëllimeve Y që përmban të gjitha imazhet e eëementëve të A, që dmth:

👁 {\displaystyle f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.}

Imazhi i 👁 {\displaystyle f}
është imazhi i të gjithë domenit, domethënë 👁 {\displaystyle f(X)}
. [18] Quhet gjithashtu diapazoni i 👁 {\displaystyle f}
,^[6]

Nga ana tjetër, imazhi i anasjelltë ose paraimazhi nën 👁 {\displaystyle f}
i një elementi y të shëmbëllimit 👁 {\displaystyle Y}
është bashkësia e të gjithë elementëve të domenit 👁 {\displaystyle X}
, imazhet e të cilëve nën 👁 {\displaystyle f}
janë të barabarta y. Në simbole, paraimazhi i y -së shënohet me 👁 {\displaystyle f^{-1}(y)}
dhe jepet nga ekuacioni

👁 {\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}.}

Po kështu, paraimazhi i një nënbashkësie 👁 {\displaystyle B}
të shëmbëllimit 👁 {\displaystyle Y}
është bashkësia e paraimazheve të elementeve të 👁 {\displaystyle B}
, domethënë është nënbashkësia e fytyrave 👁 {\displaystyle X}
që përbëhet nga të gjithë elementët e 👁 {\displaystyle X}
, imazhet e të cilit i përkasin 👁 {\displaystyle B}
. Shënohet me 👁 {\displaystyle f^{-1}(B)}

dhe jepet nga ekuacioni

👁 {\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}.}

Për shembull, paraimazhi i 👁 {\displaystyle \{4,9\}}
nën funksionin katror është bashkësia 👁 {\displaystyle \{-3,-2,2,3\}}
.

Le 👁 {\displaystyle f\colon X\to Y}
të jetë një funksion.

Funksioni 👁 {\displaystyle f}
është injektiv (ose një-me-një, ose është një injeksion ) nëse 👁 {\displaystyle f(a)\neq f(b)}
për çdo dy elementë të ndryshme 👁 {\displaystyle a}
dhe 👁 {\displaystyle b}
të 👁 {\displaystyle X}
. Në mënyrë të njëvlershme, 👁 {\displaystyle f}
është injektiv atëherë dhe vetëm atëherë kur për ndonjë 👁 {\displaystyle y\in Y,}
paraimazhi 👁 {\displaystyle f^{-1}(y)}
përmban të shumtën një element. Një funksion bosh është gjithmonë injektiv. Nëse 👁 {\displaystyle X}
nuk është grupi bosh, atëherë f është injektiv nëse dhe vetëm nëse ekziston një funksion 👁 {\displaystyle g\colon Y\to X}
sikurse 👁 {\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}
domethënë, nëse 👁 {\displaystyle f}
ka një invers të majtë . Vërtetim: Nëse f është injektiv, për përcaktimin e g, zgjidhet një element 👁 {\displaystyle x_{0}}
në 👁 {\displaystyle X}
(i cili ekziston pasi X supozohet të jetë jo bosh), dhe njëri përcakton g me 👁 {\displaystyle g(y)=x}
nëse 👁 {\displaystyle y=f(x)}
dhe 👁 {\displaystyle g(y)=x_{0}}
nëse 👁 {\displaystyle y\not \in f(X).}
Në të kundërt, nëse 👁 {\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}
dhe 👁 {\displaystyle y=f(x),}
pastaj 👁 {\displaystyle x=g(y),}
dhe kështu 👁 {\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\}.}

Funksioni 👁 {\displaystyle f}
është surjektiv (ose mbi, ose është një surjeksion ) nëse diapazoni i tij 👁 {\displaystyle f(X)}
barazohet me shëmbëllimin e tij 👁 {\displaystyle Y}
, domethënë nëse, për secilin element 👁 {\displaystyle y}
të shëmbëllimit, ekziston një element 👁 {\displaystyle x}
i fytyrave i tillë që 👁 {\displaystyle f(x)=y}
(me fjalë të tjera, paraimazhi 👁 {\displaystyle f^{-1}(y)}
të çdo 👁 {\displaystyle y\in Y}
nuk është bosh). Nëse, si zakonisht në matematikën moderne, supozohet aksioma e zgjedhjes, atëherë 👁 {\displaystyle f}
është surjektiv nëse dhe vetëm nëse ekziston një funksion 👁 {\displaystyle g\colon Y\to X}
sikurse 👁 {\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y},}
domethënë, nëse 👁 {\displaystyle f}
ka një të anasjelltë të drejtë .

Funksioni 👁 {\displaystyle f}
është bijektiv (ose është një bijeksion ose një korrespodencë një-për-një ) nëse është edhe injektiv edhe surjektiv. Kjo do të thotë, 👁 {\displaystyle f}
është bijektiv nëse, për ndonjë 👁 {\displaystyle y\in Y,}
paraimazhi 👁 {\displaystyle f^{-1}(y)}
përmban saktësisht një element. Funksioni 👁 {\displaystyle f}
është bijektiv nëse dhe vetëm nëse pranon një funksion të anasjelltë, domethënë një funksion 👁 {\displaystyle g\colon Y\to X}
sikurse 👁 {\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}
dhe 👁 {\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}.}