In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, l'inclusione, indicata con 👁 {\displaystyle \subseteq }
, è una relazione binaria tra insiemi definita nel seguente modo: "l'insieme 👁 {\displaystyle B}
è contenuto o incluso nell'insieme 👁 {\displaystyle A}
se, per ogni elemento 👁 {\displaystyle x}
, se 👁 {\displaystyle x}
appartiene a 👁 {\displaystyle B}
allora 👁 {\displaystyle x}
appartiene ad 👁 {\displaystyle A}
". In simboli, dati due insiemi 👁 {\displaystyle A}
e 👁 {\displaystyle B}
, si ha:

👁 {\displaystyle B\subseteq A\iff \forall x:x\in B\Rightarrow x\in A.}
^[1]

L'insieme 👁 {\displaystyle B}
si dice sottoinsieme di 👁 {\displaystyle A}
.

Si parla, più propriamente, di inclusione stretta per indicare che ogni elemento di 👁 {\displaystyle B}
è anche elemento di 👁 {\displaystyle A}
ma che esistono elementi di 👁 {\displaystyle A}
che non sono elementi di 👁 {\displaystyle B}
.

Nel caso in cui tutti gli elementi di 👁 {\displaystyle A}
appartengono anche a 👁 {\displaystyle B}
si parla di sottoinsieme improprio (in altre parole ogni insieme è un sottoinsieme improprio di sé stesso). Si parla di sottoinsieme proprio se almeno un elemento di 👁 {\displaystyle A}
non è compreso nell'insieme 👁 {\displaystyle B}
, cioè nel caso dell'inclusione stretta.

Il simbolo usato per indicare un sottoinsieme è 👁 {\displaystyle \subseteq }
, mentre il simbolo per indicare un sottoinsieme proprio è 👁 {\displaystyle \subset }
. Tuttavia spesso viene usata una notazione alternativa che indica con 👁 {\displaystyle \subset }
un sottoinsieme e con 👁 {\displaystyle \subsetneq }
un sottoinsieme proprio (quest'ultima si usa anche quando si vuole mettere in evidenza che 👁 {\displaystyle B}
non coincide con 👁 {\displaystyle A}
).

Analogamente si definisce il concetto di sovrainsieme; il simbolo usato è 👁 {\displaystyle \supseteq }
(oppure 👁 {\displaystyle \supset }
) per il sovrainsieme, e 👁 {\displaystyle \supset }
(oppure 👁 {\displaystyle \supsetneq }
) per il sovrainsieme proprio.

• L'inclusione è una relazione d'ordine largo, cioè è una relazione riflessiva, antisimmetrica e transitiva; quindi valgono:

👁 {\displaystyle A\subseteq A}
(riflessività)

👁 {\displaystyle B\subseteq A\land A\subseteq B\Rightarrow B=A}
(antisimmetria)

👁 {\displaystyle C\subseteq B\land B\subseteq A\Rightarrow C\subseteq A}
(transitività)

In particolare, l'antisimmetria della relazione viene tipicamente sfruttata per definire l'uguaglianza di 👁 {\displaystyle A}
e 👁 {\displaystyle B}
:

"👁 {\displaystyle A}
è uguale 👁 {\displaystyle B}
se e solo se 👁 {\displaystyle A}
è contenuto in 👁 {\displaystyle B}
e 👁 {\displaystyle B}
è contenuto in 👁 {\displaystyle A}
",

cioè:

👁 {\displaystyle A=B\iff A\subseteq B\land B\subseteq A.}

• L'insieme vuoto 👁 {\displaystyle \varnothing }
  è sottoinsieme di ogni altro insieme, cioè "per ogni insieme 👁 {\displaystyle A}
  si ha che 👁 {\displaystyle \varnothing \subseteq A}
  ".

• Valgono

👁 {\displaystyle B\subset A\Leftrightarrow A\supset B;}

👁 {\displaystyle B\subseteq A\Leftrightarrow A\supseteq B.}

• Se 👁 {\displaystyle B\subseteq A}
  , allora:

👁 {\displaystyle B\cup A=A;}

👁 {\displaystyle B\cap A=B.}

Il simbolo ⊂, così come ad esempio anche i simboli ∈, ∩, ∪, venne introdotto per la prima volta da Giuseppe Peano nel Formulario mathematico, opera pubblicata nel 1895.

• Appartenenza
• Sottoclasse (insiemistica)
• Sottoinsieme
• Relazione binaria
• Teoria degli insiemi
• Teoria ingenua degli insiemi
• Teorie formali degli insiemi
• Insieme delle parti
• 👁 {\displaystyle \cup }
  : unione
• 👁 {\displaystyle \cap }
  : intersezione

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• (EN) subset, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc. 👁 Modifica su Wikidata
  
• (EN) Eric W. Weisstein, Subset, su MathWorld, Wolfram Research. 👁 Modifica su Wikidata