Cresciuto nella Sanremese, nella cui formazione Giovanissimi entra all'età di 9 anni,^[6] dopo falliti provini con Reggina e Torino^[13] approda a 15 anni^[3] nel vivaio del Genoa.^[6] Nonostante un difficile impatto alla prima esperienza lontano da casa, nonché a frequenti malanni fisici – «avevo un osso in più all'attacco della tibia in entrambi i piedi, che dopo una ventina di minuti di partita si gonfiavano tanto da costringermi a smettere» – risolti con due operazioni e un anno passato sulle stampelle,^[3] con la squadra Primavera del grifone vince nel 2010 la supercoppa di categoria,^[14] iniziando a farsi notare come uno dei migliori elementi dei liguri.^[6]

Nell'estate 2012, a 19 anni, è ceduto in prestito al Modena, in Serie B.^[15] Complici due gravi infortuni,^[16][17] ottiene solo 8 presenze in campionato e 2 in Coppa Italia con la maglia dei canarini. Tornato in rossoblù per volontà di Gian Piero Gasperini, il quale decide di puntare su di lui nonostante l'annus horribilis da cui è reduce,^[3] esordisce in Serie A il 25 agosto 2013, a 20 anni, subentrando all'89' di Inter-Genoa (2-0).^[18] Il 2 marzo 2014 segna il suo primo gol in Serie A, quello del definitivo 2-0 per il grifone nella vittoria casalinga sul Catania.^[19] Complice l'infortunio del compagno di squadra Matuzalém, si ritaglia sempre più spazio nel girone di ritorno, chiudendo il campionato con 16 presenze e 1 gol.

Nel luglio 2014 viene ceduto a titolo definitivo alla Juventus^[20][21] per 5,5 milioni di euro (più 3,5 di bonus); contestualmente viene sottoscritto un prestito annuale gratuito in favore del club ligure.^[20] Gioca la sua ultima partita con il Genoa il 31 gennaio 2015, nell'1-1 contro la Fiorentina, propiziando l'autogol del portiere avversario Tătărușanu che sblocca il risultato. In questa prima parte di stagione gioca 15 partite tra campionato e Coppa Italia. In tutto, con la maglia rossoblù mette insieme 31 presenze e 1 gol.

A differenza degli accordi estivi, nel febbraio 2015 si trasferisce a Torino con un semestre di anticipo.^[22] Debutta con i bianconeri il 14 marzo seguente, giocando da titolare nella vittoriosa trasferta (0-1) di campionato contro il Palermo,^[23] mentre il 14 aprile esordisce nelle coppe europee, entrando nel secondo tempo della partita di andata dei quarti di Champions League tra Juventus e Monaco (1-0);^[24] il 5 maggio seguente gioca poi la sua prima partita da titolare nella massima competizione europea per club, la semifinale di andata vinta 2-1 sul Real Madrid.^[25] Il 23 dello stesso mese trova anche il primo gol in maglia juventina, in campionato, nel 3-1 casalingo al Napoli.^[26]

La stagione 2014-2015, in cui Sturaro si divide tra Genova e Torino, si conclude con la conquista in bianconero dello scudetto^[27] e della Coppa Italia,^[28] i primi trofei della sua carriera professionistica; con i piemontesi prende inoltre parte, senza scendere in campo, alla finale di Champions League persa contro il Barcellona. L'8 agosto 2015 gioca da titolare a Shanghai la Supercoppa di Lega vinta 2-0 contro la Lazio, servendo l'assist a Mandžukić per la rete che sblocca il risultato.^[29] Tuttavia da qui in avanti Sturaro non riesce più a confermare^[30] le positive impressioni che aveva destato nel semestre d'esordio in bianconero,^[4][5] finendo relegato tra le seconde linee della squadra.^[30]

Nel prosieguo dell'annata 2015-2016 trova comunque il suo primo gol in Champions League, il 23 febbraio a Torino, siglando il definitivo 2-2 nell'andata degli ottavi di finale contro il Bayern Monaco.^[31] Chiude la sua seconda annata a Torino bissando il double nazionale. Nella stagione successiva disputa da titolare il match di Supercoppa italiana contro il Milan, che vede i bianconeri sconfitti ai tiri di rigore. Alla fine dell'annata conquista il suo terzo scudetto (il sesto consecutivo per la squadra piemontese) e la sua terza Coppa Italia; raggiunge inoltre la sua seconda finale di Champions League, anche stavolta senza tuttavia scendere in campo, dove la Juventus viene sconfitta dal Real Madrid.

Nell'ultima stagione a Torino, 2017-2018, mette in bacheca il quarto double di fila, ma vede anche ridursi ulteriormente il suo minutaggio, finendo definitivamente ai margini della rosa bianconera.^[32]

Nell'estate 2018 Sturaro si trasferisce in Portogallo, ceduto in prestito allo Sporting Lisbona.^[33] Alle prese con la riabilitazione da un serio infortunio, tuttavia, Sturaro non riesce a scendere mai in campo per tutta la durata dell'esperienza lusitana.^[34]

Nel gennaio 2019 rientra quindi anzitempo alla Juventus, che contestualmente lo cede in prestito oneroso per 1,5 milioni di euro al Genoa, dove il centrocampista fa ritorno dopo quattro anni;^[35] il febbraio seguente, benché il giocatore non abbia ancora disputato una gara con il nuovo club, scatta l'obbligo di riscatto per 16,5 milioni di euro.^[36] Fa il suo secondo debutto con i liguri il 17 marzo 2019, nella vittoria di campionato a Marassi proprio contro la Juventus (2-0), trovando nell'occasione la rete che apre le marcature.^[37]

Tuttavia nelle settimane seguenti un nuovo infortunio, stavolta al legamento crociato anteriore del ginocchio destro, lo relega nuovamente in infermeria per lungo tempo, chiudendo anzitempo la stagione^[38] e potendo tornare a giocare solo nell'autunno seguente. Il 25 novembre 2019, nella trasferta di campionato sul terreno della SPAL (1-1), bagna il suo ritorno in campo segnando il gol del definitivo pareggio.^[39]

Rimane a Genova fino al gennaio 2021, quando si trasferisce al Verona con la formula del prestito con diritto di riscatto a 10 milioni di euro.^[40][41] Nel semestre in Veneto raggiunge la salvezza con la formazione scaligera, prima di fare ritorno in pianta stabile al Genoa per la stagione 2021-2022, senza tuttavia riuscire a evitare la retrocessione rossoblù in Serie B.

Dall'estate 2022, stante la partenza di Domenico Criscito, diventa il nuovo capitano genoano:^[42] pur non riuscendo a conseguire una titolarità certa, dà il suo contributo all'immediato ritorno del grifone in Serie A.^[43] In questa terza esperienza in maglia rossoblù raccoglie 45 presenze nell'arco di un biennio, non rinnovando il contratto in scadenza nel giugno 2023.^[44]

Il 21 agosto 2023 si accorda da svincolato con il Fatih Karagümrük, società della massima serie turca.^[45] Dopo un semestre a Istanbul, fatto di 12 presenze e un gol tra campionato e Coppa di Turchia, il 16 gennaio 2024 decide di risolvere il proprio contratto con il club.^[46]

Il giorno seguente torna in Italia venendo ingaggiato dal Catania, in Serie C;^[47] per volere dell'allenatore Cristiano Lucarelli, inoltre, riceve la fascia di capitano del sodalizio etneo,^[48] stante l'assenza dai campi del capitano designato Francesco Rapisarda.^[49] Debutta in maglia rossazzurra l'11 febbraio 2024, nella gara interna contro la Casertana, rimediando un'espulsione.^[48]