knudeteori

👁 Image

Knudeteori. Øverst et elektronmikroskopbillede af to DNA-molekyler, der er lænket sammen. Nederst den tilsvarende matematiske lænke, den såkaldte Whitehead-lænke (efter den britiske topolog J.H.C. Whitehead, 1904-60); den udmærker sig ved at være en lænke af to trivielle knuder, som geometrisk er lænket sammen, men dog algebraisk set har lænketallet 0.

SDE.

Licens: Begrænset anvendelse

👁 Image

Den højrehåndede (1) og den venstrehåndede (2) kløverbladsknude er begge såkaldte asymmetriske knuder. De kan ikke i det omgivende rum deformeres over i hinanden og de er derfor ikke ækvivalente. De er også ikke-trivielle.

Kløverbladsknuderne

Af SDE.

Licens: Begrænset anvendelse

Knudeteori er en matematisk teori inden for topologi, som omhandler de geometriske objekter, der opstår, når man slår en eller flere knuder på en streng, gerne oven i hinanden, og binder enderne på strengen sammen.

Matematik i knuder

Matematisk set er en knude en lukket kurve i rummet uden selvgennemskæringer. I knudeteorien udvikles metoder til at afgøre, hvorvidt to forelagte matematiske knuder er ækvivalente, dvs. hvorvidt de i det omgivende rum kan deformeres over i hinanden, uden at knuderne klippes over og samles igen. Hvis en knude er ækvivalent med en cirkel (en lukket streng uden knuder), siges den at være triviel. To særligt kendte knuder er de såkaldte kløverbladsknuder. De er ikke indbyrdes ækvivalente, og de er begge ikke-trivielle.

Knudeteoriens udvikling

Det matematiske studium af knuder går i hvert fald tilbage til et arbejde af den tyske matematiker J.B. Listing (1808-82) fra 1847, hvor de to kløverbladsknuder omtales som værende ikke-ækvivalente. Et gennembrud i knudeteorien skete 1984, da Vaughan Jones i forbindelse med studier af operatoralgebraer opdagede et polynomium, der har vist sig at kunne skelne mellem mange typer af knuder. Fx viser Jones-polynomiet umiddelbart, at de to kløverbladsknuder ikke er ækvivalente, hvilket indtil da havde været vanskeligt at bevise.

Teorien for knuder og mere generelt lænker (dvs. to eller flere knuder, som griber ind i hinanden) har nær sammenhæng med fletningsgruppen. Knudeteori indgår i adskillige matematiske områder, og der er anvendelser af teorien i bl.a. statistisk mekanik og i studiet af DNA-molekyler.

Læs mere i Lex

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.