Hiperkula – zwyczajowa nazwa uogólnienia kuli w 👁 {\displaystyle n}
-wymiarowych przestrzeniach kartezjańskich 👁 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
Tak więc hiperkulą może być nazwane zarówno dwuwymiarowe koło, jak i trój-, cztero- lub pięciowymiarowa kula; jednak pojęcia tego używa się najczęściej dla cztero- lub więcej wymiarowych kul.

Wyobrażenie sobie wielowymiarowej (cztero-, pięcio-, lub więcej) hiperkuli jest trudne dla człowieka, ponieważ przestrzeń z czterema lub większą liczbą wymiarów leży poza granicami ludzkiej, trójwymiarowej percepcji. Można narysować rzut hiperkuli na płaszczyznę, lub ewentualnie skonstruować rzut na przestrzeń trójwymiarową – dostajemy jednak wówczas odpowiednio zwykłe koło i zwykłą kulę. Można też pokryć powierzchnię hiperkuli siatką (odpowiadającą siatce równoleżników i południków na kuli) i narysować jej rzut. Uzyskujemy wówczas rysunek taki jak obok.

W przypadku przekrojenia hiperkuli, w miejscu przecięcia zobaczymy kulę (analogicznie do przekrojenia kuli, gdy w miejscu przecięcia widzimy koło).

Hiperkulą o środku w punkcie 👁 {\displaystyle S=(s_{1},\dots ,s_{n})}
i promieniu długości 👁 {\displaystyle r}
nazywamy zbiór punktów przestrzeni 👁 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
spełniających nierówność

👁 {\displaystyle (x_{1}-s_{1})^{2}+(x_{2}-s_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-s_{n})^{2}\leqslant r^{2}.}

Brzegiem hiperkuli jest zbiór punktów przestrzeni 👁 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
spełniających równanie

👁 {\displaystyle (x_{1}-s_{1})^{2}+(x_{2}-s_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-s_{n})^{2}=r^{2}.}

Zbiór ten nazywamy hipersferą. Hipersfera będąca brzegiem kuli 👁 {\displaystyle n}
-wymiarowej jest obiektem 👁 {\displaystyle (n-1)}
-wymiarowym, podobnie jak brzeg dwuwymiarowego koła jest obiektem jednowymiarowym – krzywą zwaną okręgiem.

👁 {\displaystyle n}
-wymiarową objętość 👁 {\displaystyle n}
-wymiarowej hiperkuli o promieniu 👁 {\displaystyle r}
można obliczyć ze wzoru:

👁 {\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}\cdot r^{n}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\pi ^{k}}{k!}}\cdot r^{n}&{\text{dla }}n=2k,\\[2ex]\displaystyle {\frac {2^{k}\pi ^{k-1}}{n!!}}\cdot r^{n}&{\text{dla }}n=2k-1,\end{cases}}}

gdzie 👁 {\displaystyle \Gamma }
oznacza funkcję gamma, 👁 {\displaystyle \pi }
to stała matematyczna wynosząca 👁 {\displaystyle \pi \approx 3{,}141593,}
zaś symbol 👁 {\displaystyle n!!}
oznacza silnię podwójną. Wraz ze wzrostem liczby wymiarów, hiperkula wypełnia coraz mniejszą część hipersześcianu, w który jest wpisana. Stosunek ich objętości maleje do zera, gdy 👁 {\displaystyle n}
dąży do nieskończoności.

👁 {\displaystyle (n-1)}
-wymiarowa powierzchnia hiperkuli jest związana prostym wzorem z jej objętością:

👁 {\displaystyle S_{n}={\frac {nV_{n}}{r}}.}

👁 {\displaystyle n}
-wymiarową objętość 👁 {\displaystyle n}
-wymiarowej hiperkuli można policzyć, całkując odpowiednio 👁 {\displaystyle (n-1)}
-wymiarową hiperkulę, przy czym 0-wymiarowa hiperkula jest punktem o objętości równej 1, co jest warunkiem brzegowym tego wzoru.

👁 {\displaystyle V_{n}(r)={\begin{cases}\displaystyle 1&{\text{dla }}n=0,\\[2ex]\displaystyle \int \limits _{-r}^{r}\,V_{n-1}({\sqrt {r^{2}-x^{2}}})dx&{\text{dla }}n>0.\end{cases}}}

Z uwagi na symetryczność funkcji 👁 {\displaystyle {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}
, powyższy wzór dla przypadku rekurencyjnego można przedstawić w następującej postaci:

👁 {\displaystyle V_{n}(r)=2\int \limits _{0}^{r}\,V_{n-1}({\sqrt {r^{2}-x^{2}}})dx\quad dla\;n>0.}

Dla kolejnych 👁 {\displaystyle n}
-wymiarowych hiperkul objętość wynosi:

• 👁 publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać
  Grant Sanderson, The most beautiful formula not enough people understand (ang.), kanał „3blue1brown” na YouTube, 27 lutego 2026 [dostęp 2026-03-10].