👁 Image

👁 Image

Hipersfera (gr. υπερ hyper „nad, ponad” i σφαῖρα sphaîra „kula, piłka”) – uogólnienie klasycznej sfery na dowolną liczbę wymiarów.

Dla dowolnej liczby naturalnej 👁 {\displaystyle n,}
hipersfera o promieniu 👁 {\displaystyle r}
jest zdefiniowana jako zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej 👁 {\displaystyle (n+1)}
-wymiarowej, które znajdują się w odległości 👁 {\displaystyle r}
od wybranego punktu środkowego 👁 {\displaystyle c,}
gdzie 👁 {\displaystyle r}
jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, a 👁 {\displaystyle c}
to dowolnie wybrany punkt w przestrzeni 👁 {\displaystyle (n+1)}
-wymiarowej^[1]:

👁 {\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\|x-c\|=r\right\}.}

Jest to 👁 {\displaystyle n}
-wymiarowa rozmaitość w 👁 {\displaystyle (n+1)}
-wymiarowej przestrzeni euklidesowej^[1]. W szczególności:

• hipersfera 0-wymiarowa 👁 {\displaystyle S^{0}}
  to para punktów na końcach odcinka^[2],
• hipersfera 1-wymiarowa 👁 {\displaystyle S^{1}}
  to okrąg na płaszczyźnie^[3],
• hipersfera 2-wymiarowa 👁 {\displaystyle S^{2}}
  to klasyczna sfera w przestrzeni 3-wymiarowej, powierzchnia klasycznej kuli^[4],
• hipersfera 3-wymiarowa 👁 {\displaystyle S^{3}}
  to sfera w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Hipersferę o promieniu jednostkowym i środku umieszczonym w początku układu współrzędnych nazywa się sferą jednostkową i oznacza 👁 {\displaystyle S^{n}}
^[5]. Sfera 👁 {\displaystyle n}
-wymiarowa stanowi brzeg kuli 👁 {\displaystyle (n+1)}
-wymiarowej. Dla 👁 {\displaystyle n\geqslant 2}
hipersfery są rozmaitościami jednospójnymi o stałej dodatniej krzywiźnie.

Zbiór punktów w przestrzeni 👁 {\displaystyle (n+1)}
-wymiarowej 👁 {\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n+1}),}
który tworzy hipersferę, opisuje równanie

👁 {\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}

gdzie:

👁 {\displaystyle c}
– punkt środkowy,

👁 {\displaystyle r}
– promień.

Przestrzeń ograniczoną przez hipersferę nazywa się 👁 {\displaystyle (n+1)}
-wymiarową hiperkulą. Hiperkula jest domknięta, jeśli zawiera hipersferę, lub otwarta, jeśli jej nie zawiera. W szczególności:

• hiperkula 1-wymiarowa to odcinek,
• hiperkula 2-wymiarowa to koło,
• hiperkula 3-wymiarowa to kula.

Ogólny wzór na objętość, a ściślej miara Lebesgue’a obszaru ograniczanego przez hipersferę 👁 {\displaystyle (n-1)}
-wymiarową o promieniu 👁 {\displaystyle R,}
który jest hiperkulą 👁 {\displaystyle n}
-wymiarową, ma postać:

👁 {\displaystyle V_{n}(R)=C_{n}R^{n},}

gdzie 👁 {\displaystyle C_{n}}
jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

👁 {\displaystyle C_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}},}

w którym 👁 {\displaystyle \Gamma }
to funkcja Γ.

Wzór na współczynnik 👁 {\displaystyle C_{n}}
upraszcza się, gdy rozpatruje się oddzielnie wymiary stopni parzystych^[6]

👁 {\displaystyle C_{2k}={\frac {\pi ^{k}}{k!}}}

i nieparzystych^[6]

👁 {\displaystyle C_{2k+1}={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2k+1)}}={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}.}

Zestawienie wartości współczynników 👁 {\displaystyle C_{n}}

Wymiar n	Współczynnik 👁 {\displaystyle C_{n}}	Dziesiętne przybliżenie	Klasyczna interpretacja
0	👁 {\displaystyle 1}	1,00000	punkt
1	👁 {\displaystyle 2}	2,00000	długość odcinka
2	👁 {\displaystyle \pi }	3,14159	pole koła
3	👁 {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi }	4,18879	objętość kuli
4	👁 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi ^{2}}	4,93480
5	👁 {\displaystyle {\frac {8}{15}}\pi ^{2}}	5,26379
6	👁 {\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi ^{3}}	5,16771
7	👁 {\displaystyle {\frac {16}{105}}\pi ^{3}}	4,72478
8	👁 {\displaystyle {\frac {1}{24}}\pi ^{4}}	4,05871

Rozmiar obszaru ograniczonego hipersferą jednostkową jest największy w przestrzeni 5-wymiarowej. W przestrzeniach o liczbie wymiarów 👁 {\displaystyle n>5}
rozmiar zaczyna maleć, zmierzając do zera w nieskończoności

👁 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }V_{n}=0.}

Ogólny wzór na powierzchnię hipersfery 👁 {\displaystyle (n-1)}
-wymiarowej można uzyskać, obliczając pochodną objętości hiperkuli 👁 {\displaystyle n}
-wymiarowej względem promienia^[7]

👁 {\displaystyle S_{n-1}(R)={\frac {d}{dR}}V_{n}(R)={\frac {d}{dR}}C_{n}R^{n}=nC_{n}R^{n-1}=C_{n-1}^{*}R^{n-1},}

gdzie 👁 {\displaystyle C_{n-1}^{*},}
podobnie jak dla objętości, jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

👁 {\displaystyle C_{n-1}^{*}=nC_{n}={\frac {n\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}={\begin{cases}\displaystyle 0&{\text{dla }}n=0,\\[2ex]\displaystyle {\frac {n\pi ^{\frac {n}{2}}}{{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}&{\text{dla }}n>0\end{cases}}}

Zestawienie wartości współczynników 👁 {\displaystyle C_{n-1}^{*}}

Wymiar n-1	Współczynnik 👁 {\displaystyle C_{n-1}^{*}}	Dziesiętne przybliżenie	Klasyczna interpretacja
–1	👁 {\displaystyle 0}	0,00000
0	👁 {\displaystyle 2}	2,00000	liczba punktów tworzących sferę
1	👁 {\displaystyle 2\pi }	6,28318	długość okręgu
2	👁 {\displaystyle 4\pi }	12,56637	powierzchnia kuli
3	👁 {\displaystyle 2\pi ^{2}}	19,73920
4	👁 {\displaystyle {\frac {8}{3}}\pi ^{2}}	26,31894
5	👁 {\displaystyle \pi ^{3}}	31,00627
6	👁 {\displaystyle {\frac {16}{15}}\pi ^{3}}	33,07336
7	👁 {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi ^{4}}	32,46969

Wśród hipersfer jednostkowych największą powierzchnię ma hipersfera 6-wymiarowa (w przestrzeni 7-wymiarowej). Dla hipersfer o wymiarach 👁 {\displaystyle n>6}
ich rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera, gdy liczba wymiarów rośnie do nieskończoności

👁 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=0.}

Wzory na 👁 {\displaystyle S_{n}}
i 👁 {\displaystyle V_{n}}
można zastosować dla dowolnych liczb rzeczywistych 👁 {\displaystyle n\geqslant 0,}
w których istnieje uzasadnienie poszukiwania powierzchni sfery lub objętości kuli, gdy 👁 {\displaystyle n}
nie jest dodatnią liczbą całkowitą.

Analogicznie do współrzędnych sferycznych, w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej definiuje się system współrzędnych hipersferycznych dla dowolnej przestrzeni 👁 {\displaystyle n}
-wymiarowej, w których składowymi są promień 👁 {\displaystyle r}
i 👁 {\displaystyle (n-1)}
współrzędnych kątowych 👁 {\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},\dots ,\phi _{n-1},}
gdzie 👁 {\displaystyle \phi _{n-1}}
zawiera się w przedziale 👁 {\displaystyle [0,2\pi ),}
a pozostałe współrzędne kątowe w przedziale 👁 {\displaystyle [0,\pi ].}

Jeśli przez 👁 {\displaystyle x_{i}}
oznaczy się współrzędne kartezjańskie, to ich wartości można wyznaczyć jako:

👁 {\displaystyle x_{1}=r\cos(\phi _{1}),}

👁 {\displaystyle x_{2}=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2}),}

👁 {\displaystyle x_{3}=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3}),}

👁 {\displaystyle {}\,\,\,\vdots }

👁 {\displaystyle x_{n-1}=r\sin(\phi _{1})\ldots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1}),}

👁 {\displaystyle x_{n}=r\sin(\phi _{1})\ldots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1}).}

• hipersześcian
• rozmaitość

• KarolK. Gryszka KarolK., Anomalie kul i kostek, „Delta”, październik 2018 [dostęp 2018-11-25].
• ZacharyZ. Treisman ZacharyZ., A young person’s guide to the Hopf fibration, „arXiv”, 9 sierpnia 2009, arXiv:0908.1205.

• Exploring Hyperspace with the Geometric Product (ang.)
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hypersphere, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).

Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Hipersfera&oldid=75670393”