Em matemática, uma categoria monoidal (ou categoria tensorial) é uma categoria 👁 {\displaystyle \mathbf {C} }
equipada com um bifuntor

:\mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} } 👁 {\displaystyle \otimes :\mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }

que é associativo a menos de um isomorfismo natural, e um objeto I que é tanto uma identidade à esquerda quanto à direita para ⊗, novamente a menos de um isomorfismo natural. Os isomorfismos naturais associados estão sujeitos a certas condições de coerência, que garantem que todos os diagramas relevantes comutem.

O produto tensorial comum torna os espaços vetoriais, grupos abelianos, R-módulos ou R-álgebras em categorias monoidais. As categorias monoidais podem ser vistas como uma generalização desses e de outros exemplos. Toda categoria monoidal (pequena) também pode ser vista como uma "categorificação" de um monoide subjacente, a saber, o monoide cujos elementos são as classes de isomorfismo dos objetos da categoria e cuja operação binária é dada pelo produto tensorial da categoria.

Uma aplicação bastante diferente, para a qual as categorias monoidais podem ser consideradas uma abstração, é um sistema de tipos de dados fechado sob um construtor de tipos que recebe dois tipos e constrói um tipo agregado. Os tipos servem como os objetos, e ⊗ é o construtor agregado. A associatividade a menos de isomorfismo é então uma forma de expressar que diferentes maneiras de agregar os mesmos dados — como 👁 {\displaystyle ((a,b),c)}
e 👁 {\displaystyle (a,(b,c))}
— armazenam as mesmas informações, mesmo que os valores agregados não precisem ser os mesmos. O tipo agregado pode ser análogo à operação de adição (soma de tipos) ou de multiplicação (produto de tipos). Para o produto de tipos, o objeto identidade é a unidade 👁 {\displaystyle ()}
, de modo que há apenas um habitante do tipo, e é por isso que um produto com ele é sempre isomorfo ao outro operando. Para a soma de tipos, o objeto identidade é o tipo vazio (void), que não armazena nenhuma informação, e é impossível endereçar um habitante. O conceito de categoria monoidal não presume que os valores de tais tipos agregados possam ser separados; pelo contrário, fornece uma estrutura que unifica a teoria da informação clássica e a quântica.^[1]

Na teoria das categorias, as categorias monoidais podem ser usadas para definir o conceito de um objeto monoide e uma ação associada nos objetos da categoria. Elas também são usadas na definição de uma categoria enriquecida.

As categorias monoidais têm inúmeras aplicações fora da teoria das categorias propriamente dita. Elas são usadas para definir modelos para o fragmento multiplicativo da lógica linear intuicionista. Elas também formam a base matemática para a ordem topológica na física da matéria condensada. Categorias monoidais trançadas têm aplicações em informação quântica, teoria quântica de campos e teoria das cordas.

Uma categoria monoidal é uma categoria 👁 {\displaystyle \mathbf {C} }
equipada com uma estrutura monoidal. Uma estrutura monoidal consiste no seguinte:

• um bifuntor 👁 {\displaystyle \otimes \colon \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }
  chamado de produto monoidal,^[2] ou produto tensorial,
• um objeto 👁 {\displaystyle I}
  chamado de unidade monoidal,^[2] objeto unidade, ou objeto identidade,
• três isomorfismos naturais sujeitos a certas condições de coerência expressando o fato de que a operação tensorial:
  • é associativa: existe um isomorfismo 👁 {\displaystyle \alpha }
    natural (em cada um dos três argumentos 👁 {\displaystyle A}
    , 👁 {\displaystyle B}
    , 👁 {\displaystyle C}
    ), chamado de associador, com componentes 👁 {\displaystyle \alpha _{A,B,C}\colon A\otimes (B\otimes C)\cong (A\otimes B)\otimes C}
    ,
  • tem 👁 {\displaystyle I}
    como identidade à esquerda e à direita: existem dois isomorfismos naturais 👁 {\displaystyle \lambda }
    e 👁 {\displaystyle \rho }
    , respectivamente chamados de unitor esquerdo e unitor direito, com componentes 👁 {\displaystyle \lambda _{A}\colon I\otimes A\cong A}
    e 👁 {\displaystyle \rho _{A}\colon A\otimes I\cong A}
    .

Note que uma boa forma de lembrar como 👁 {\displaystyle \lambda }
e 👁 {\displaystyle \rho }
atuam é pela aliteração com o inglês: *Lambda* (👁 {\displaystyle \lambda }
) cancela a identidade à esquerda (*left*), enquanto *Rho* (👁 {\displaystyle \rho }
) cancela a identidade à direita (*right*).

As condições de coerência para essas transformações naturais são:

• para todos os 👁 {\displaystyle A}
  , 👁 {\displaystyle B}
  , 👁 {\displaystyle C}
  e 👁 {\displaystyle D}
  em 👁 {\displaystyle \mathbf {C} }
  , o diagrama pentagonal

👁 Este é um dos principais diagramas usados para definir uma categoria monoidal; é talvez o mais importante

comuta;

• para todos os 👁 {\displaystyle A}
  e 👁 {\displaystyle B}
  em 👁 {\displaystyle \mathbf {C} }
  , o diagrama triangular

comuta.

Uma categoria monoidal estrita é aquela para a qual os isomorfismos naturais α, λ e ρ são identidades. Toda categoria monoidal é monoidalmente equivalente a uma categoria monoidal estrita.

• Qualquer categoria com produtos finitos pode ser considerada monoidal com o produto como o produto monoidal e o objeto terminal como a unidade. Tal categoria é às vezes chamada de categoria monoidal cartesiana. Por exemplo:
  • Set, a categoria dos conjuntos com o produto cartesiano, com qualquer conjunto de um único elemento servindo como unidade.
  • Cat, a categoria das categorias pequenas com a categoria produto, onde a categoria com um objeto e apenas seu mapa de identidade é a unidade.
• Dualmente, qualquer categoria com coprodutos finitos é monoidal com o coproduto como o produto monoidal e o objeto inicial como a unidade. Tal categoria monoidal é chamada de monoidal cocartesiana.
• R-Mod, a categoria de módulos sobre um anel comutativo R, é uma categoria monoidal com o produto tensorial de módulos ⊗_R servindo como o produto monoidal e o anel R (pensado como um módulo sobre si mesmo) servindo como a unidade. Como casos especiais, tem-se:
  • K-Vect, a categoria de espaços vetoriais sobre um corpo K, com o espaço vetorial unidimensional K servindo como a unidade. K-FdVect (a categoria de espaços vetoriais de dimensão finita) por extensão se encaixa nisso.
  • Ab, a categoria de grupos abelianos, com o grupo de inteiros Z servindo como a unidade.
• Para qualquer anel comutativo R, a categoria de R-álgebras é monoidal com o produto tensorial de álgebras como o produto e R como a unidade.
• A categoria de espaços pontuados (restrita a espaços gerados compactamente, por exemplo) é monoidal com o produto smash (esmagado) servindo como o produto e a 0-esfera pontuada (um espaço discreto de dois pontos) servindo como a unidade.
• A categoria de todos os endofuntores em uma categoria C é uma categoria monoidal estrita com a composição de funtores como o produto e o funtor identidade como a unidade.
• Assim como para qualquer categoria E, a subcategoria plena gerada por qualquer objeto dado é um monoide, é o caso que para qualquer 2-categoria E, e qualquer objeto C em Ob(E), a 2-subcategoria plena de E gerada por {C} é uma categoria monoidal. No caso E = Cat, obtemos o exemplo de endofuntores acima.
• Semirreticulados de encontro (meet) limitados superiormente são categorias monoidais simétricas estritas: o produto é o encontro e a identidade é o elemento superior.
• Qualquer monoide comum 👁 {\displaystyle (M,\cdot ,1)}
  é uma categoria monoidal pequena com conjunto de objetos 👁 {\displaystyle M}
  , apenas identidades para morfismos, 👁 {\displaystyle \cdot }
  como produto tensorial e 👁 {\displaystyle 1}
  como seu objeto identidade. Por outro lado, o conjunto de classes de isomorfismo (se tal coisa fizer sentido) de uma categoria monoidal é um monoide em relação ao produto tensorial.
• Qualquer monoide comutativo 👁 {\displaystyle (M,\cdot ,1)}
  pode ser realizado como uma categoria monoidal com um único objeto. Lembre-se de que uma categoria com um único objeto é a mesma coisa que um monoide comum. Por um Argumento de Eckmann-Hilton, adicionar outro produto monoidal em 👁 {\displaystyle M}
  exige que o produto seja comutativo.

Segue das três condições de coerência definidoras que uma grande classe de diagramas (ou seja, diagramas cujos morfismos são construídos usando 👁 {\displaystyle \alpha }
, 👁 {\displaystyle \lambda }
, 👁 {\displaystyle \rho }
, identidades e produto tensorial) comutam: este é o "teorema de coerência" de Mac Lane. Às vezes é incorretamente afirmado que todos esses diagramas comutam.

Existe uma noção geral de objeto monoide em uma categoria monoidal, que generaliza a noção comum de monoide da álgebra abstrata. Monoides comuns são precisamente os objetos monoides na categoria monoidal cartesiana Set. Além disso, qualquer categoria monoidal estrita (pequena) pode ser vista como um objeto monoide na categoria de categorias Cat (equipada com a estrutura monoidal induzida pelo produto cartesiano).

Funtores monoidais são os funtores entre categorias monoidais que preservam o produto tensorial e transformações naturais monoidais são as transformações naturais, entre esses funtores, que são "compatíveis" com o produto tensorial.

Toda categoria monoidal pode ser vista como a categoria B(∗, ∗) de uma bicategoria B com apenas um objeto, denotado ∗.

O conceito de uma categoria C enriquecida em uma categoria monoidal M substitui a noção de um conjunto de morfismos entre pares de objetos em C pela noção de um objeto-M de morfismos entre quaisquer dois objetos em C.

• Se, em uma categoria monoidal, 👁 {\displaystyle A\otimes B}
  e 👁 {\displaystyle B\otimes A}
  são naturalmente isomorfos de uma maneira compatível com as condições de coerência, falamos de uma categoria monoidal trançada. Se, além disso, esse isomorfismo natural for seu próprio inverso, temos uma categoria monoidal simétrica.
• Uma categoria monoidal fechada é uma categoria monoidal onde o funtor 👁 {\displaystyle X\mapsto X\otimes A}
  tem um adjunto à direita, que é chamado de "funtor Hom interno" 👁 {\displaystyle X\mapsto \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A,X)}
  . Exemplos incluem categorias fechadas cartesianas como Set, a categoria de conjuntos, e categorias fechadas compactas como FdVect, a categoria de espaços vetoriais de dimensão finita.
• Categorias autônomas (ou categorias fechadas compactas ou categorias rígidas) são categorias monoidais nas quais existem duais com propriedades agradáveis; elas abstraem a ideia de FdVect.
• Categorias monoidais simétricas com adaga (dagger), equipadas com um funtor adaga (dagger) extra, abstraindo a ideia de FdHilb, espaços de Hilbert de dimensão finita. Estas incluem as categorias compactas com adaga.
• Categorias tannakianas são categorias monoidais enriquecidas sobre um corpo, que são muito semelhantes a categorias de representação de grupos algébricos lineares.

• Teoria das categorias
• Teoria das categorias superiores
• Ação de categoria monoidal

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