Na matemática, mais precisamente teoria das categorias, um functor ou funtor[1] é um mapeamento entre categorias, preservando domínios, contradomínios, identidades e composições, analogamente a como, por exemplo, um homomorfismo de grupos preserva o elemento neutro e a operação do grupo.
Segundo Saunders Mac Lane, o conceito de functor foi, pela primeira vez, reconhecido na topologia algébrica, no estudo de grupos de homologia.[2]
Definição
[editar | editar código]Dadas categorias C e D, um functor de C até D, escrito F: C → D, consiste
- de uma atribuição, a cada objeto x ∈ C, de um objeto F(x) ∈ D,
- de uma atribuição, a cada morfismo f: x → y, de um morfismo Fx, y(f) = F(f): F(x) → F(y), (equivalentemente, dom(F(f)) = F(dom(f)) e cod(F(f)) = F(cod(f)))
satisfazendo
- F(1x) = 1F(x) para cada objeto x ∈ C,
- F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f) para cada dupla de morfismos f: x → y e g: y → z.
Chama-se esse F: C → D mais explicitamente de functor covariante. Há, também, o conceito de functor contravariante[nota 1][3] de C até D, atribuindo, a cada morfismo f: x → y, um morfismo G(f): F(y) → F(x), satisfazendo G(1x) = 1G(x) e G(g ∘ f) = G(f) ∘ G(g); os functores contravariantes de C até D estão em correspondência biunívoca com os functores covariantes Cop → D, em que Cop denota a categoria oposta a C.
Por vezes, em vez de se dizer que F é functor (covariante ou contravariante), diz-se que a atribuição x ↦ F(x) é functorial.[2][4][5][6]
Exemplos
[editar | editar código]- Dadas A e B categorias, com objeto b ∈ B, há o functor constante Δ(b): A → B, com atribuição👁 {\displaystyle \Delta (b)(x\xrightarrow {f} y)=b\xrightarrow {1_{b}} b.}
- Se Set denota a categoria dos conjuntos pequenos, há Q functor contravariante de Set a Set, com atribuição👁 {\displaystyle Q(A\xrightarrow {f} B)=\operatorname {P} (B)\xrightarrow {S\mapsto f^{\leftarrow }(S)} \operatorname {P} (A),}
em que P(A) é o conjunto de partes de A, e f←(S) é a pré-imagem de S por f. - Se K-Vet denota a categoria dos espaços vetoriais pequenos sobre um corpo K, há functor contravariante (_)* de K-Vet de K-Vet, com correspondência👁 {\displaystyle (U\xrightarrow {\Lambda } V)^{*}=V^{*}\xrightarrow {f\mapsto f\circ \Lambda } U^{*},}
em que U* = homK(U, K) denota o espaço dual a U. - A atribuição de cada espaço com base (X, x) ao correspondente grupo fundamental π1(X, x) é functorial.[7][4]
Bifunctor
[editar | editar código]Um bifunctor é um functor cujo domínio é um produto de categorias B × C. Dado bifunctor F: B × C → D e objeto c ∈ C, o functor F(–, c): B → D é definido por:👁 {\displaystyle F(-,c)(b\xrightarrow {f} b')=F((b,c)\xrightarrow {(f,1_{c})} (b',c)).}
De forma análoga, há o functor F(b, –): C → D.[8]
Categoria de categorias e functores
[editar | editar código]Para cada U universo de Grothendieck, há a categoria 👁 {\displaystyle U{\text{-}}{\mathsf {Cat}}}
(ou, brevemente, 👁 {\displaystyle {\mathsf {Cat}}}
) cujos objetos são as categorias que pertencem a U e cujos morfismos são os functores entre essas categorias.[9][4]
Um conceito similar é a categoria de functores DC, cujos objetos são os functores C → D, e cujos morfismos são as transformações naturais entre esses functores.[10]
Functor hom
[editar | editar código]Seja 👁 {\displaystyle C}
uma categoria. Denotando-se por 👁 {\displaystyle {\textsf {Set}}}
uma categoria de conjuntos suficientemente grande, há functor[11]
👁 {\displaystyle \mathrm {hom} :C^{\mathrm {op} }\times C\rightarrow {\textsf {Set}}}
em que 👁 {\displaystyle \mathrm {hom} (X,Y)}
é o conjunto de morfismos 👁 {\displaystyle X\rightarrow Y}
, e, dados 👁 {\displaystyle f:X'\rightarrow X}
, 👁 {\displaystyle g:Y\rightarrow Y'}
morfismos em 👁 {\displaystyle C}
,
👁 {\displaystyle \mathrm {hom} (f,g)=g\circ {\text{-}}\circ f=(k\mapsto g\circ k\circ f):\mathrm {hom} (X,Y)\rightarrow \mathrm {hom} (X',Y').}
Ligações externas
[editar | editar código]Notas
- ↑ O nome cofunctor é usado, mas não é recomendado.
Referências
- ↑ Português à letra. «Functor ou Funtor». Consultado em 30 de março de 2020
- 1 2 (Mac Lane, §I.3, §II.2)
- ↑ Vergura, Marco (setembro de 2015). «Is "cofunctor" an accepted term for contravariant functors? – Math.Stackexchange»
- 1 2 3 (Riehl, §1.3)
- ↑ (Adámek, Herrlich, Strecker, §I.3.17)
- ↑ (Aluffi, §VIII.1.1)
- ↑ (Adámek, Herrlich, Strecker, §I.3.20)
- ↑ (Mac Lane, §II.3)
- ↑ (Mac Lane, §I.3, §I.6)
- ↑ (Mac Lane, §II.4)
- ↑ (Mac Lane, §II.2, §II.3)
Bibliografia
[editar | editar código]- ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. [S.l.: s.n.]
- ALUFFI, Paolo (2009). Algebra: Chapter 0. Col: Graduate Studies in Mathematics 1 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN978-0-8218-4781-7
- MAC LANE, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Col: Graduate Texts in Mathematics 2 ed. [S.l.]: Springer. ISBN0-387-98403-8
- RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.]