O produto fibrado (ou pullback) é uma construção de teoria das categorias.

Dadas duas setas 👁 {\displaystyle f:b\rightarrow a}
e 👁 {\displaystyle g:c\rightarrow a}
, de uma categoria C qualquer, com destino comum 👁 {\displaystyle a}
, o produto fibrado de 👁 {\displaystyle (f,g)}
é um objeto 👁 {\displaystyle b\times _{a}c}
e duas setas 👁 {\displaystyle p:b\times _{a}c\rightarrow b}
e 👁 {\displaystyle q:b\times _{a}c\rightarrow c}
tal que:

1. 👁 {\displaystyle f\circ p=g\circ q}
   , onde 👁 {\displaystyle f\circ p,g\circ q:b\times _{a}c\rightarrow a}
   ;
2. Para qualquer outra tripla 👁 {\displaystyle (d,h:d\rightarrow b,k:d\rightarrow c)}
   tal que 👁 {\displaystyle g\circ k=f\circ h}
   , existe uma única seta 👁 {\displaystyle \langle h,k\rangle _{a}:d\rightarrow b\times _{a}c}
   tal que 👁 {\displaystyle p\circ \langle h,k\rangle _{a}=h}
   e 👁 {\displaystyle q\circ \langle h,k\rangle _{a}=k}
   .

Neste caso, diz-se que 👁 {\displaystyle {\begin{matrix}b\times _{a}c&{\overset {q}{\to }}&c\\\downarrow p&&\downarrow g\\b&{\overset {f}{\to }}&a\end{matrix}}}
é quadrado de produto fibrado.

O conceito dual do produto fibrado é a soma amalgamada.

Como o produto fibrado é caso particular do limite em teoria das categorias, produtos fibrados (se existem) são únicos a menos de isomorfismo.^[1]

Na categoria dos conjuntos o produto fibrado de 👁 {\displaystyle f}
e 👁 {\displaystyle g}
é o conjunto 👁 {\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}}
, com as restrições das projeções 👁 {\displaystyle p_{1}}
e 👁 {\displaystyle p_{2}}
a 👁 {\displaystyle X\times _{Z}Y}
.

Pullbacks podem ser concatenados. Mais precisamente, dado diagrama comutativo numa categoria qualquer 👁 {\displaystyle {\begin{matrix}A&\to &C&\to &E\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\B&\to &D&\to &F\end{matrix}}}
se os quadrados ABCD e CDEF são diagramas de produto fibrado, então o retângulo exterior ABEF também é. Ainda mais, se o retângulo exterior ABEF e o quadrado direito CDEF são diagramas de produto fibrado, então o quadrado esquerdo ABCD também é.^[2]

Há também o conceito de produto fibrado para mais de dois morfismos. Seja família 👁 {\displaystyle \{g_{i}:a_{i}\to b\}_{i\in I}}
de morfismos na categoria 👁 {\displaystyle C}
. Um produto fibrado (ou pullback) dessa família é um objeto 👁 {\displaystyle a\in C}
, junto a outra família de morfismos 👁 {\displaystyle \{f_{i}:a\to a_{i}\}_{i\in I}}
e um morfismo 👁 {\displaystyle f:a\to b}
, tal que:

• 👁 {\displaystyle g_{i}\circ f_{i}=f}
  para qualquer índice 👁 {\displaystyle i\in I}
  ;
• para qualquer família 👁 {\displaystyle \{f'_{i}:a'\to a_{i}\}_{i\in I}}
  de morfismos e morfismo 👁 {\displaystyle f':a'\to b}
  tais que 👁 {\displaystyle g_{i}\circ f'_{i}=f'}
  para qualquer índice 👁 {\displaystyle i\in I}
  , há único morfismo 👁 {\displaystyle h:a'\to a}
  tal que 👁 {\displaystyle f'=f\circ h}
  e 👁 {\displaystyle f'_{i}=f_{i}\circ h}
  para cada 👁 {\displaystyle i\in I}
  .^[3]

O morfismo 👁 {\displaystyle f:a\to b}
(que só foi explicitado acima para o caso 👁 {\displaystyle I=\emptyset }
) também é chamado de pullback.

• Matemática
• Ciência da computação

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• «Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani» (PDF)

• ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. [S.l.: s.n.]
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.