O produto categorial é uma generalização categorial do produto cartesiano.

Seja C uma categoria e sejam 👁 {\displaystyle a}
e 👁 {\displaystyle b}
dois objetos da categoria C. O produto categorial de 👁 {\displaystyle a}
e 👁 {\displaystyle b}
é um objeto 👁 {\displaystyle a\times b}
, junto a dois morfismos 👁 {\displaystyle p_{a}:a\times b\rightarrow a}
e 👁 {\displaystyle p_{b}:a\times b\rightarrow b}
, tal que para qualquer objeto 👁 {\displaystyle c}
da categoria e para quaisquer morfismos 👁 {\displaystyle f:c\rightarrow a}
e 👁 {\displaystyle g:c\rightarrow b}
existe exatamente um 👁 {\displaystyle h:c\rightarrow a\times b}
tal que o diagrama da figura ao lado comuta, isto é: 👁 {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}p_{a}\circ h=f\\p_{b}\circ h=g\end{array}}\right..}

Os morfismos 👁 {\displaystyle p_{a}}
e 👁 {\displaystyle p_{b}}
são chamados projeções. Podemos chamar o objeto 👁 {\displaystyle c}
junto com as setas 👁 {\displaystyle f}
e 👁 {\displaystyle g}
de pré-produto.

Sendo um caso particular do limite em teoria das categorias, produtos (se existem) são únicos a menos de isomorfismo.^[1]

• O produto na categoria 👁 {\displaystyle {\mathsf {Set}}}
  dos conjuntos coicide com o produto cartesiano usual.
• O produto na categoria 👁 {\displaystyle {\mathsf {Top}}}
  dos espaços topológicos é o produto cartesiano com a topologia produto.^[2]

Pode-se considerar produtos para mais do que dois objetos. Seja 👁 {\displaystyle \{a_{i}\}_{i\in I}}
família de objetos em 👁 {\displaystyle C}
. Um produto dessa família é um objeto 👁 {\displaystyle \prod _{i\in I}{a_{i}}}
, junto a uma família de morfismos 👁 {\displaystyle p_{j}:\prod _{i}{a_{i}}\to a_{j}}
, tal que, para cada outra família de morfismos 👁 {\displaystyle \{f_{j}:c\to a_{j}\}_{j\in I}}
, há único 👁 {\displaystyle f:c\to \prod _{i}{a_{i}}}
com 👁 {\displaystyle p_{j}\circ f=f_{j}}
para cada índice 👁 {\displaystyle j\in I}
.^[1]

• Matemática
• Ciência da computação

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• «Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani» (PDF)

• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.]
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.
• Asperti, Longo, "Categories, Types, and Structures", The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England.