Če je funkcija f v točki a odvedljiva, je tam tudi zvezna. Obratna zveza ne velja.

Zapis odvoda, ki ga je uvedel Gottfried Wilhelm Leibniz je med najstarejšimi.

👁 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}},\;\;\mathrm {ali} \;\;{\frac {d}{dx}}{\bigl (}f(x){\bigr )}.}

Višje odvode zapišemo kot

👁 {\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx^{n}}},\;\;\mathrm {ali} \;\;{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}}

za n-ti odvod funkcije y=f(x)

Eden najbolj uporabljenih zapisov za odvajanje je uvedel Joseph-Louis de Lagrange. Za oznako je uporabil znak unča. Tako je diferencialni koeficient funkcije f(x) označen z f'(x) ali krajše f' .

Newtonov zapis za odvajanje, imenovan tudi zapis s piko, je postavljena pika nad funkcijo za predstavitev diferencialnega koeficienta. Če je funkcija y = f(t) odvisna od spremenljivke t, njen odvod zapišemo

👁 {\displaystyle {\dot {y}}}

Newtonov zapis se uporablja predvsem v fiziki, kjer je običajno s piko označen časovni odvod, oziroma odvod po času.

Eulerjev zapis uporablja diferencialni operator D, ki ga predpostavimo funkciji f in dobimo prvi odvod Df.

• odvod vsote/razlike:

👁 {\displaystyle (f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)\!\,}

• odvod produkta:

👁 {\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\!\,}

• odvod količnika:

👁 {\displaystyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}\!\,}

• odvod kompozituma:

👁 {\displaystyle (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\!\,}

• odvod konstante: če je g(x) = c (konstanta), potem

👁 {\displaystyle g'(x)=0\,\!}

• odvod potence: če je 👁 {\displaystyle f(x)=x^{r}\,}
  , kjer je r realno število, potem

👁 {\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}\,}
,

Pravilo za odvod potence lahko uporabljamo tudi za primere ko r ni celo število. Takrat pravilo velja tam, kjer je funkcija definirana. Na primer: če je r = 1/2, sledi 👁 {\displaystyle f'(x)=(1/2)x^{-1/2}\,}
in funkcija je definirana le za nenegativne vrednost x.

• odvod eksponentne funkcije:
  • Naravna eksponentna funkcija 👁 {\displaystyle f(x)=e^{x}\,\!}
    se pri odvajanju ne spremeni: 👁 {\displaystyle f'(x)=e^{x}\,\!}
    .
  • V splošnem pa je odvod funkcije 👁 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,\!}
    enak 👁 {\displaystyle f'(x)=a^{x}\ln a\,\!}
    .

• odvod logaritemske funkcije:
  • Naravna logaritemska funkcija 👁 {\displaystyle f(x)=\ln x\,\!}
    ima odvod 👁 {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}}
    .
  • V splošnem je odvod logaritemske funkcije 👁 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,\!}
    enak 👁 {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x\ln a}}}
    .

👁 {\displaystyle (\sin x)'=\cos x\!}

👁 {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\!}

👁 {\displaystyle (\sin 2x)'=2\cos 2x\!}

👁 {\displaystyle (\cos 2x)'=-2\sin 2x\!}

👁 {\displaystyle (\sin(nx))'=n\cos(nx)\!}

👁 {\displaystyle (\sin ^{2}x)'=2\sin x\cos x=\sin 2x\!}

👁 {\displaystyle (\cos ^{2}x)'=-2\sin x\cos x=-\sin 2x\!}

👁 {\displaystyle (\sin ^{n}x)'=n\sin ^{(n-1)}x\cos x\!}

👁 {\displaystyle (\cos ^{n}x)'=-n\sin x\cos ^{(n-1)}x\!}

👁 {\displaystyle (\tan x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}};\;\cos x\neq 0}

👁 {\displaystyle (\cot x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}};\;\sin x\neq 0}

👁 {\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}

👁 {\displaystyle (\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}}

Naj bo 👁 {\displaystyle n}
skalarno polje in 👁 {\displaystyle {\vec {b}}}
neki vektor. Zanima nas sprememba skalarnega polja v smeri vektorja 👁 {\displaystyle {\vec {b}}}
.

Ogledamo si izraz

👁 {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {u(x+hb_{1},y+hb_{2},z+hb_{3})-u(x,y,z)}{h}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}}

Definirali smo smerni odvod skalarnega polja v smeri 👁 {\displaystyle {\vec {b}}}

👁 {\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}h}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}}{\frac {{\mbox{d}}x}{{\mbox{d}}h}}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}y}}{\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}h}}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}z}}{\frac {{\mbox{d}}z}{{\mbox{d}}h}}\,\!}

Sledi

👁 {\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}}b_{1}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}y}}b_{2}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}z}}b_{3}}

pri čemer je 👁 {\displaystyle {\vec {b}}}
enotski vektor.

Torej

👁 {\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\mbox{grad}}\,u(b_{1},b_{2},b_{3})={\mbox{grad}}\,u{\vec {b}},\qquad {\vec {b}}}
enotski

👁 {\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\mbox{grad}}\,u\cdot {\vec {b}}}

Jacobijeva determinanta parcialnih odvodov primer za vpeljavo novih spremenljivk:

👁 {\displaystyle J={\begin{vmatrix}x_{u}&x_{v}&x_{w}\\y_{u}&y_{v}&y_{w}\\z_{u}&z_{v}&z_{w}\end{vmatrix}}}