logaritme

Logaritmer kan brukes til å lette tallregning ved hjelp av følgende regneregler:

• Logaritmen til et produkt er lik summen av logaritmene til faktorene
• Logaritmen til en brøk er differensen mellom tellerens og nevnerens logaritmer
• Logaritmen til en potens er rotens logaritme multiplisert med eksponenten
• Logaritmen til en rotstørrelse er radikandens logaritme dividert med roteksponenten

Eksempel: Skal man beregne \(\sqrt[7]{456}\) ved logaritmeregning, finner man logaritmen til 456, dividerer logaritmen med 7, og deretter søker man i en logaritmetabell etter det tallet (numerus) som har dette tallet til logaritme.

På denne måten kan man redusere multiplikasjon til addisjon, divisjon til subtraksjon, potensregning til multiplikasjon og rotutdragning til divisjon.

I praksis bruker man logaritmer som har 10 til grunntall. Disse kalles briggske logaritmer. Bruker man briggske logaritmer, skriver man nå \(\lg a\) istedenfor \(\log_{10}a \).

Logaritmeregning og logaritmetabeller er nå i praksis erstattet av datamaskiner og kalkulatorer, men logaritmebegrepet i form av naturlige logaritmer er viktig i teoretisk matematikk. Grunntallet (basisen) er her det transcendente tallet e = 2,71828.... Dette er definert som grenseverdien

\[e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\]

Det kan også defineres som summen av en uendelig rekke

\[e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dotsc\]

Sammenhengen mellom briggske logaritmer og naturlige logaritmer, som betegnes med \(\ln a=\log_e a\), er gitt ved \(\lg a=\lg e\cdot\ln a\) for positive tall \(a\).

Logaritmebegrepet kan også utvides til å gjelde for komplekse og negative tall.

Det er mange fysiske størrelser som måles på en logaritmisk skala. Dette gjelder for eksempel surhetsgrad (pH), Richters skala for jordskjelv og desibel (dB) for lyd.

Dette betyr at en økning på 1 enhet på Richters skala svarer til en tidobling av styrken på jordskjelvet.

Logaritmefunksjonen er den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen, og skrives \(\log_g x\) for positive \(x\). Tallet \(g\), som må være positivt og forskjellig fra 1, er grunntallet for logaritmefunksjonen. Logaritmefunksjonen tilfredsstiller funksjonalligningen \(f(A\cdot B)=f(A)+f(B)\), ettersom \(\log_g(xy)=\log_g x+\log_g y\).

Sammenhengen mellom eksponentialfunksjonen \(a^x\) og logaritmefunksjonen med \(a\) som grunntall er gitt ved \(\log_a a^x=x\) for alle reelle tall \(x\), og \(a^{\log_a x}=x\) for alle positive tall \(x\).

• eksponentialfunksjonen
• potens
• matematikk