La teoria degli insiemi è una teoria matematica posta ai fondamenti della matematica stessa, collocandosi nell'ambito della logica matematica.

Prima della prima metà del XIX secolo la nozione di insieme veniva considerata solo come qualcosa di intuitivo e generico. La nozione è stata sviluppata nella seconda metà del XIX secolo dal matematico tedesco Georg Cantor, è stata al centro dei dibattiti sui fondamenti dal 1890 al 1930 ed ha ricevuto le prime sistemazioni assiomatiche per merito di Ernst Zermelo, Adolf Fraenkel, Paul Bernays, Kurt Gödel, John von Neumann e Thoralf Skolem, Gottlob Frege (le convenzioni linguistico-formali, come il quantificatore universale ed esistenziale) e Giuseppe Peano (notazione e sintassi). In questo periodo si sono assestati due sistemi di assiomi chiamati sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel e sistema assiomatico di Von Neumann-Bernays-Gödel.

Successivamente si sono affrontate le tematiche riguardanti il problema della completezza dei sistemi di assiomi (v. teorema di incompletezza di Gödel), i rapporti con la teoria della calcolabilità (vedasi anche macchina di Turing) e la compatibilità dei sistemi di assiomi con l'assioma della scelta e con assiomi equivalenti o simili. Accanto a differenti consolidate teorie formali degli insiemi (vedi anche teoria assiomatica degli insiemi) esistono esposizioni più intuitive che costituiscono la cosiddetta teoria ingenua degli insiemi.

Un insieme è definito ingenuamente come una collezione di elementi. Gli elementi possono essere qualsiasi cosa tra cui numeri, persone, o altri insiemi. Il numero di elementi in un insieme può essere finito (l'insieme dei residenti in una città) o infinito (l'insieme dei numeri pari). L'insieme vuoto (👁 {\displaystyle \varnothing }
) è quello che non contiene alcun elemento. Un elemento può o meno appartenere ad un insieme: se l'elemento 👁 {\displaystyle a}
appartiene all'insieme 👁 {\displaystyle A}
, allora si dice che 👁 {\displaystyle a}
appartiene ad 👁 {\displaystyle A}
che si indica con 👁 {\displaystyle a\in A}
, altrimenti 👁 {\displaystyle a\notin A}
. Se tutti gli elementi di un insieme 👁 {\displaystyle A}
appartengono ad un insieme più grande 👁 {\displaystyle B}
, si dice che 👁 {\displaystyle A}
è un sottoinsieme di 👁 {\displaystyle B}
che si indica con 👁 {\displaystyle A\subseteq B}
, in caso contrario si scrive 👁 {\displaystyle A\nsubseteq B}
. Se due insiemi 👁 {\displaystyle A}
e 👁 {\displaystyle B}
contengono esattamente gli stessi elementi, allora si ha che 👁 {\displaystyle A=B}
.

La cardinalità 👁 {\displaystyle |A|}
di un insieme 👁 {\displaystyle A}
è la misura del numero di elementi contenuti in quell'insieme.

Come con le operazioni aritmetiche, sono definite alcune operazioni binarie fra insiemi, che prendono in considerazione due insiemi e restituiscono un terzo insieme basato sull'operazione insiemistica:

Si noti che

👁 {\displaystyle (A\cup B)\cap C\neq A\cup (B\cap C).}

Ne consegue che gli operatori unione, intersezione e complemento non sempre godono dell'associatività.

Abbiamo detto che un insieme può contenere altri insiemi. Talvolta se tutti gli elementi di un insieme 👁 {\displaystyle X}
sono essi stessi insiemi, 👁 {\displaystyle X}
prende il nome di collezione. L'esempio più comune di collezione è il già citato insieme delle parti.

Dati due insiemi 👁 {\displaystyle A}
e 👁 {\displaystyle B}
, il prodotto cartesiano 👁 {\displaystyle A\times B}
è definito come l'insieme delle coppie ordinate 👁 {\displaystyle (a,b)}
dove 👁 {\displaystyle a\in A}
e 👁 {\displaystyle b\in B}
.

In simboli:

👁 {\displaystyle A\times B=\{(a,b)\,|\,a\in A\land b\in B\}.}

Si noti che il prodotto cartesiano introduce per definizione il concetto di "ordine" creando coppie ordinate. Pertanto, 👁 {\displaystyle A}
e 👁 {\displaystyle B}
possono essere insiemi qualsiasi, senza la necessità che su di essi vi sia definita una particolare relazione d'ordine.

Talvolta per sottolineare che le coppie di un prodotto cartesiano sono ordinate possiamo imbatterci nella dicitura:

👁 {\displaystyle (a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}\qquad }
(definizione di Kuratowski).

Questa definizione stabilisce che ciascuna coppia ordinata è una collezione di due insiemi, uno contenente il singoletto il cui unico elemento è il primo componente della coppia stessa, l'altro l'insieme di cardinalità 2 i cui elementi sono entrambi i componenti della coppia.

Da questa definizione segue che

👁 {\displaystyle (a,b)\neq (b,a)}

poiché

• 👁 {\displaystyle (a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\};}
  
• 👁 {\displaystyle (b,a)=\{\{b\},\{a,b\}\}.}
  

Tuttavia, per quanto questa definizione possa essere elegante, l'ordine del prodotto cartesiano è spesso considerato un concetto primitivo che non necessita dimostrazione.

• Insieme numerabile
• Insieme ricorsivo
• Insieme ricorsivamente enumerabile
• Insieme con la potenza del continuo
• Numero transfinito

• numeri naturali
• numeri interi o numeri relativi
• numeri razionali
• numeri reali
• numeri irrazionali
• numeri algebrici
• numeri complessi
• numeri trascendenti
• numero transifiniti

• Alexander Abian, La teoria degli insiemi e l'aritmetica transfinita, Feltrinelli, 1972
• (EN) Paul Bernays, Axiomatic Set Theory, Dover, 1991
• (FR) Nicolas Bourbaki, Théorie des ensembles, Hermann, 1970
• Paul J. Cohen, La teoria degli insiemi e l'ipotesi del continuo, Feltrinelli, 1973
• Frank R. Drake e Dasharath Singh, Intermediate set theory, Wiley, 1996, ISBN978-0-471-96494-0.
• (EN) Robert E. Edwards, A formal Background to Mathematics Ia Ib. Logic, sets and Numbers, Springer, 1979, ISBN 3-540-90431-X
• (EN) Abraham H. Fraenkel, Abstract set theory, North-Holland, 1961
• Paul Halmos, Teoria elementare degli insiemi, Feltrinelli, 1976
• Gabriele Lolli, Teoria assiomatica degli insiemi, Boringhieri, 1974
• J. Donald Monk, Introduzione alla teoria degli insiemi, Boringhieri, 1972
• Patrick Suppes, Axiomatic set theory, collana Dover books on advanced mathematics, 1. Dover ed, Dover Publ, 1972, ISBN978-0-486-61630-8.
• James Munkres, Topology, 2ª ed. (Pearson New International Edition), Harlow, Pearson Education Limited, 2013, ISBN978-1-292-02362-5.

• Teoria ingenua degli insiemi
• Teoria assiomatica degli insiemi
• Insieme sfocato o fuzzy set
• Luogo geometrico
• Teoria delle categorie
• Teoria dei tipi
• Analisi non standard

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• Gabriele Lolli, La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. La teoria degli insiemi, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2004. 👁 Modifica su Wikidata
  
• insiemi, teoria degli, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013. 👁 Modifica su Wikidata
  
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• (EN) Eric W. Weisstein, Set Theory, su MathWorld, Wolfram Research. 👁 Modifica su Wikidata
  
• (EN) Set theory, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society. 👁 Modifica su Wikidata
  
• (EN) Denis Howe, set theory, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL