I numeri interi (o numeri interi relativi o, semplicemente, numeri relativi) corrispondono all'insieme ottenuto unendo i numeri naturali (0, 1, 2, ...) e i numeri interi negativi (−1, −2, −3,...), cioè quelli ottenuti ponendo un segno “−” davanti ai naturali. Questo insieme in matematica viene indicato con Z o 👁 {\displaystyle \mathbb {Z} }
, perché è la lettera iniziale di “Zahl” che in tedesco significa numero (originariamente "far di conto", infatti l'espressione implica l'utilizzo dei numeri negativi).

Gli interi vengono quindi definiti esattamente come l'insieme dei numeri che sono il risultato tra sottrazioni di numeri naturali. I numeri interi possono essere sommati, sottratti e moltiplicati e il risultato rimane un numero intero. L'inverso di un numero intero non è però un intero in generale, ma un numero razionale; formalmente questo fatto si esprime dicendo che 👁 {\displaystyle \mathbb {Z} }
è un anello commutativo unitario, ma non un campo.

Come i numeri naturali, 👁 {\displaystyle \mathbb {Z} }
è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e di moltiplicazione, cioè la somma o il prodotto di due interi è un intero. Inoltre, con l'inclusione dei numeri naturali negativi e dello zero, 👁 {\displaystyle \mathbb {Z} }
(a differenza dei numeri naturali) è chiuso anche rispetto all'operazione di sottrazione: se 👁 {\displaystyle a}
e 👁 {\displaystyle b}
sono interi, anche 👁 {\displaystyle a-b}
lo è. Tuttavia, 👁 {\displaystyle \mathbb {Z} }
non è chiuso sotto l'operazione di divisione, poiché il quoziente di due interi (per esempio 👁 {\displaystyle 1/2}
) non è necessariamente un numero intero.

La tabella seguente elenca alcune delle proprietà di base dell'addizione e della moltiplicazione per ogni intero 👁 {\displaystyle a}
, 👁 {\displaystyle b}
e 👁 {\displaystyle c}
.

L'insieme 👁 {\displaystyle \mathbb {Z} }
è un insieme totalmente ordinato senza estremo superiore o inferiore. L'ordine di 👁 {\displaystyle \mathbb {Z} }
è dato da

👁 {\displaystyle \ldots <-2<-1<0<1<2<\ldots }

Un numero intero è positivo se è maggiore dello zero e negativo se minore di zero; zero non è considerato un numero positivo né negativo.

L'ordine seguente è compatibile con le regole dell'algebra:

1. se 👁 {\displaystyle a<b}
   e 👁 {\displaystyle c<d}
   , allora 👁 {\displaystyle a+c<b+d}
   ;
2. se 👁 {\displaystyle a<b}
   e 👁 {\displaystyle c>0}
   , allora 👁 {\displaystyle ac<bc}
   .

Più semplicemente: se 👁 {\displaystyle m}
e 👁 {\displaystyle n}
sono due qualsiasi numeri relativi si dice che 👁 {\displaystyle m}
è maggiore di 👁 {\displaystyle n}
, e si scrive 👁 {\displaystyle m>n}
, se esiste un numero naturale 👁 {\displaystyle p\neq 0}
tale che 👁 {\displaystyle m=n+p}
. L'insieme 👁 {\displaystyle \mathbb {Z} }
può essere definito a partire dall'insieme 👁 {\displaystyle \mathbb {N} }
dei numeri naturali tramite il concetto di insieme quoziente. Si consideri il prodotto cartesiano 👁 {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}=\mathbb {N} \times \mathbb {N} }
, ovvero l'insieme di tutte le coppie ordinate di numeri naturali 👁 {\displaystyle (a,b)}
. Si consideri la seguente relazione 👁 {\displaystyle \sim }

👁 {\displaystyle (a,b)\sim (a',b')\Leftrightarrow a+b'=a'+b.}

Questa è una relazione di equivalenza, infatti è:

• riflessiva: 👁 {\displaystyle (a,b)\sim (a,b)}
  , infatti 👁 {\displaystyle a+b=a+b}
  
• simmetrica: se 👁 {\displaystyle (a,b)\sim (a',b')}
  con 👁 {\displaystyle a+b'=a'+b}
  , allora 👁 {\displaystyle a'+b=a+b'}
  e quindi 👁 {\displaystyle (a',b')\sim (a,b)}
  
• transitiva: se 👁 {\displaystyle (a,b)\sim (a',b')}
  e 👁 {\displaystyle (a',b')\sim (a'',b'')}
  , allora

👁 {\displaystyle a+b'=a'+b}
, 👁 {\displaystyle a'+b''=a''+b'}
, sommando

👁 {\displaystyle a+b'+a'+b''=a'+b+a''+b'}
, semplificando

👁 {\displaystyle a+b''=a''+b}
, quindi

👁 {\displaystyle (a,b)\sim (a'',b'')}

Si definisce 👁 {\displaystyle \mathbb {Z} }
come l'insieme quoziente di 👁 {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }
con la relazione 👁 {\displaystyle \sim }
:

👁 {\displaystyle \mathbb {Z} =(\mathbb {N} \times \mathbb {N} )/\sim }

A questo punto è facile dimostrare che ogni classe di equivalenza 👁 {\displaystyle [(a,b)]}
contiene uno e un solo elemento nella forma 👁 {\displaystyle (a',b')}
con 👁 {\displaystyle a'=0}
oppure 👁 {\displaystyle b'=0}
. In questo modo possiamo introdurre la notazione più familiare per i numeri interi nel modo seguente:

• 👁 {\displaystyle a=+a=[(a,0)]}
  
• 👁 {\displaystyle -a=[(0,a)]}
  
• 👁 {\displaystyle 0=-0=[(0,0)]}
  

Si dimostra facilmente che esiste un isomorfismo tra l'insieme dei numeri naturali e il sottoinsieme di 👁 {\displaystyle \mathbb {Z} }
costituito dagli elementi del tipo 👁 {\displaystyle [(a,0)]}
. In questo senso si può dire che i numeri naturali sono un sottoinsieme dei numeri interi.

• Fattorizzazione
• 1 (numero)
• Intero di Gauss
• Intero di Eisenstein
• Intero di Blum
• Intero algebrico
• Numero naturale
• Numero razionale
• Numero reale
• Numero complesso
• On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Partizione di un intero

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• Numero intero, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013. 👁 Modifica su Wikidata
  
• (EN) integer, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc. 👁 Modifica su Wikidata
  
• (EN) Opere riguardanti Integers, su Open Library, Internet Archive. 👁 Modifica su Wikidata
  
• (EN) Eric W. Weisstein, Integer, su MathWorld, Wolfram Research. 👁 Modifica su Wikidata
  
• (EN) Integer, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society. 👁 Modifica su Wikidata
  
• (EN) Denis Howe, integer, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL