In teoria dei gruppi, il sottogruppo normale (o invariante) è un sottogruppo in cui i laterali sinistro e destro di ogni elemento del gruppo coincidono.

In formule, il sottogruppo 👁 {\displaystyle K\subset G}
è normale se

👁 {\displaystyle gK=Kg}

per ogni elemento 👁 {\displaystyle g\in G}
. Il fatto che 👁 {\displaystyle K}
sia normale per 👁 {\displaystyle G}
si indica con 👁 {\displaystyle K\triangleleft G}
.

I sottogruppi normali sono importanti perché permettono di definire il gruppo quoziente 👁 {\displaystyle G/K}
.

Esistono numerosi modi equivalenti per definire un sottogruppo normale. Tra questi:

• K è un sottogruppo normale se viene mandato in sé da ogni automorfismo interno:

👁 {\displaystyle \forall g\in G,k\in K\quad gkg^{-1}\in K}

• K è un sottogruppo normale se è chiuso rispetto all'operazione di coniugio

• Se 👁 {\displaystyle K\triangleleft H\triangleleft G}
  , non è detto che 👁 {\displaystyle K\triangleleft G}
  . Infatti possono esserci isomorfismi non interni di 👁 {\displaystyle H}
  che sono isomorfismi interni di 👁 {\displaystyle G}
  e che non mandano 👁 {\displaystyle K}
  in sé. Per esempio, nel gruppo alterno 👁 {\displaystyle A_{4}}
  ci sono tre sottogruppi di ordine 2, e ognuno di essi è normale nell'unico sottogruppo (abeliano) di ordine 4, che è a sua volta normale in 👁 {\displaystyle A_{4}}
  . Ma i tre sottogruppi di ordine due sono permutati ciclicamente dall'automorfismo interno indotto da ogni elemento di 👁 {\displaystyle A_{4}}
  di ordine 3, e dunque nessuno di essi è normale in 👁 {\displaystyle A_{4}}
  .

Se però si aggiunge l'ipotesi che 👁 {\displaystyle K}
sia caratteristico, in 👁 {\displaystyle H}
, cioè mandato in sé da ogni automorfismo di 👁 {\displaystyle H}
, si ha che effettivamente 👁 {\displaystyle K\triangleleft G}
.

• In un gruppo abeliano, ogni sottogruppo è normale.
• Il nucleo di un omomorfismo h: G → H è un sottogruppo normale di G.
• I sottogruppi {e} e G (il più piccolo ed il più grande fra i sottogruppi di G) sono sempre normali. Se sono gli unici sottogruppi normali, il gruppo si dice semplice.
• Il gruppo delle traslazioni dello spazio euclideo è un sottogruppo normale del gruppo dei movimenti rigidi dello spazio. Ad esempio, in tre dimensioni: se si ruota, poi si trasla, e infine si ruota nell'altro verso, si ottiene una traslazione (che può essere diversa da quella iniziale).
• L'intersezione di una famiglia di sottogruppi normali è normale.
• L'immagine inversa tramite omomorfismo di un sottogruppo normale è normale. Invece l'immagine di un sottogruppo normale tramite un omomorfismo non è necessariamente normale.
• Prodotto di gruppi normali in un prodotto di gruppi è normale.
• Ogni sottogruppo di indice 2 è normale. Più in generale, se l'indice del sottogruppo 👁 {\displaystyle H}
  del gruppo finito 👁 {\displaystyle G}
  è il più piccolo numero primo che divide l'ordine di 👁 {\displaystyle G}
  , allora 👁 {\displaystyle H}
  è un sottogruppo normale di 👁 {\displaystyle G}
  .

• Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ªed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN0-12-585050-6.
• Ralph Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, ISBN 0-201-19912-2.
• Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.
• Antonio Machì, Gruppi: Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, Springer, 2010, ISBN88-470-0622-8.
• J.S. Milne, Group theory (PDF), 2012. URL consultato il 22 febbraio 2013.

• Ideale (matematica)
• Sottogruppo
• Teoria dei gruppi

• Sottogruppo normale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013. 👁 Modifica su Wikidata
  
• (EN) Eric W. Weisstein, Normal Subgroup, su MathWorld, Wolfram Research. 👁 Modifica su Wikidata
  
• (EN) Normal subgroup, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society. 👁 Modifica su Wikidata