In matematica, un'estensione separabile è un'estensione di campi algebrica 👁 {\displaystyle K\subseteq L}
in cui il polinomio minimo di ogni elemento di 👁 {\displaystyle L}
è un polinomio separabile. Un'estensione non separabile è detta inseparabile.

Le estensioni separabili sono particolarmente importanti nella teoria di Galois: infatti il teorema di corrispondenza di Galois, che è al centro della teoria, vale per estensioni finite che sono separabili e normali (dette estensioni di Galois).

Se la caratteristica di 👁 {\displaystyle K}
è 0, allora tutte le estensioni algebriche di 👁 {\displaystyle K}
sono separabili. Se la caratteristica è un numero primo 👁 {\displaystyle p}
, invece, possono esistere estensioni non separabili: ad esempio, l'estensione 👁 {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(X^{p})\subseteq \mathbb {Z} _{p}(X)}
non è separabile, perché il polinomio minimo di 👁 {\displaystyle X}
su 👁 {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(X^{p})}
è 👁 {\displaystyle T^{p}-X^{p}}
, che non è separabile. Se tutte le estensioni algebriche di 👁 {\displaystyle K}
sono separabili, allora 👁 {\displaystyle K}
è detto essere un campo perfetto; per quanto detto sopra, ogni campo di caratteristica 0 è perfetto. Se invece 👁 {\displaystyle K}
ha caratteristica 👁 {\displaystyle p}
allora è perfetto se e solo se ogni elemento ha una radice 👁 {\displaystyle p}
-esima nel campo (cioè il suo endomorfismo di Frobenius è suriettivo); ad esempio, ogni campo finito è perfetto.

L'insieme di tutti gli elementi di 👁 {\displaystyle L}
separabili su 👁 {\displaystyle K}
è un campo, indicato con 👁 {\displaystyle K_{s}}
, e detto chiusura separabile di 👁 {\displaystyle K}
in 👁 {\displaystyle L}
; 👁 {\displaystyle K\subseteq L}
è un'estensione separabile se e solo se la chiusura separabile è esattamente 👁 {\displaystyle L}
. Il grado 👁 {\displaystyle [K_{s}:K]}
è detto grado di separabilità di 👁 {\displaystyle K\subseteq L}
, mentre il quoziente 👁 {\displaystyle [L:K]/[K_{s}:K]}
è detto grado di inseparabilità. Quest'ultimo può essere pensato come un modo per "misurare" quanto un'estensione è lontana dall'essere separabile.

• Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN978-88-470-0618-8.

• (EN) Eric W. Weisstein, Separable Extension, su MathWorld, Wolfram Research. 👁 Modifica su Wikidata
  
• (EN) Estensione separabile, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society. 👁 Modifica su Wikidata