L'operazione di divisione tra due numeri duali è definita come moltiplicazione per l'inverso moltiplicativo del divisore; analogamente ai numeri complessi, è possibile eseguire la divisione moltiplicando dividendo e divisore per il coniugato del divisore:

👁 {\displaystyle {\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}={\frac {(a+b\varepsilon )(c-d\varepsilon )}{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}={\frac {ac-ad\varepsilon +cb\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{(c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2})}}={\frac {ac-ad\varepsilon +cb\varepsilon -0}{c^{2}+0}}={\frac {ac+\varepsilon (cb-ad)}{c^{2}}}={\frac {a}{c}}+{\frac {cb-ad}{c^{2}}}\varepsilon .}

La divisione è definita per 👁 {\displaystyle c\neq 0}
, per cui tutti i duali privi di parte reale non sono invertibili e i numeri duali non costituiscono un campo.

L'unità immaginaria dei numeri duali ha proprietà analoghe agli infinitesimi utilizzati nell'analisi non standard, i cui quadrati hanno valore "quasi" nullo (più precisamente, sono infinitesimi di ordine superiore). Questa caratteristiche hanno interessanti applicazioni nella definizione dei polinomi su numeri duali: dato il polinomio 👁 {\displaystyle P(z)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}z^{k}}
, è possibile scrivere il suo sviluppo di Taylor, centrato nel punto 👁 {\displaystyle a+b\varepsilon }
; questo sviluppo è troncato al secondo termine, in quanto tutti i termini successivi contengono potenze dell'unità immaginaria superiori a uno:

👁 {\displaystyle P(a+b\varepsilon )=\sum _{k=0}^{\infty }P^{(k)}(a){\frac {(b\varepsilon )^{k}}{k!}}=P(a)+P^{\prime }(a)b\varepsilon }
.

Dalla formula sopra segue che conoscendo il valore del polinomio in un determinato numero duale, è possibile conoscere il valore della derivata del polinomio, calcolato sulla parte reale. È anche possibile generalizzare questa formula utilizzandola per definire le funzioni trascendenti sui numeri duali:

👁 {\displaystyle f(a+b\varepsilon )=f(a)+bf^{\prime }(a)\varepsilon }
.

I numeri duali sono identificabili con le matrici reali 👁 {\displaystyle 2\times 2}
della forma:

👁 {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}},}

che rappresenta il numero 👁 {\displaystyle a+b\varepsilon }
.

In questo modo, le usuali operazioni di somma e prodotto tra matrici coincidono con la somma e il prodotto di numeri duali; l'elemento nilpotente è dato dalla matrice

👁 {\displaystyle \varepsilon ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}

È possibile definire il modulo di un numero duale come:

👁 {\textstyle |z|^{2}=zz^{*}=(a+\varepsilon b)(a-\varepsilon b)=a^{2}-\varepsilon ^{2}b^{2}=a^{2}}
.

La circonferenza unitaria è allora costituita dalle rette di equazione 👁 {\displaystyle a=\pm 1}
, mentre l'equivalente della formula di Eulero è:

👁 {\displaystyle \exp(b\varepsilon )=1+\varepsilon b}
.

Dato allora il numero 👁 {\displaystyle z=a+\varepsilon b}
, se 👁 {\displaystyle a\neq 0}
è possibile scomporlo come:

👁 {\displaystyle z=a\left(1+{\frac {b}{a}}\varepsilon \right)}
.

I due parametri 👁 {\displaystyle a}
e 👁 {\displaystyle b/a}
si possono considerare le coordinate polari del numero duale.

In cinematica, le trasformazioni di Galileo possono essere rappresentate mediante i numeri duali: dato il sistema di riferimento 👁 {\displaystyle O^{\prime }(x^{\prime },t^{\prime })}
, che si muove con velocità relativa 👁 {\displaystyle v}
rispetto al sistema di riferimento 👁 {\displaystyle O(x,t)}
, la trasformazione delle coordinate tra i due sistemi è data dalla matrice del numero duale 👁 {\displaystyle 1+v\varepsilon }
:

👁 {\displaystyle (t^{\prime },x^{\prime })=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}}
,

ovvero:

👁 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}t^{\prime }&=&t\\x^{\prime }&=&vt+x.\end{matrix}}\right.}

I numeri duali costituiscono un semplice esempio di superspazio, utilizzato da alcune teorie fisiche, quali la relatività generale e le teorie supersimmetriche, per descrivere la configurazione spaziale. Ad esempio, nella Supersimmetria la loro componente reale è detta direzione bosonica, quella immaginaria direzione fermionica. Quest'ultima deriva il proprio nome dai fermioni, particelle che obbediscono al principio di esclusione di Pauli: con uno scambio di coordinate, la loro funzione d'onda cambia di segno, e considerando entrambe le coordinate, la funzione d'onda si annulla. Questo comportamento può essere sintetizzato nelle proprietà dell'elemento nilpotente.