👁 Image

Iloczyn kartezjański, produkt zbiorów^[1], produkt kartezjański^[2.1] – działanie na dowolnej liczbie dowolnych zbiorów, definiowane na różne sposoby. W najprostszym przypadku iloczyn kartezjański to działanie dwuargumentowe opisujące zbiór odpowiednich par uporządkowanych – tych utworzonych z elementów wyjściowych dwóch zbiorów. Symbolicznie – jeśli 👁 {\displaystyle A}
i 👁 {\displaystyle B}
są dowolnymi zbiorami, to^[3.1][2.2]:

👁 {\displaystyle A\times B:=\{(a,b):a\in A\wedge b\in B\},}

gdzie 👁 {\displaystyle \wedge }
oznacza spójnik „i” (koniunkcję).

Nazwa kartezjański odnosi się do Kartezjusza^[4] – matematyka, którego upamiętnia też nazwa kartezjańskiego układu współrzędnych. Taki układ to opis każdego punktu płaszczyzny uporządkowaną parą liczb rzeczywistych, nazywanych współrzędnymi. Przez to płaszczyznę można utożsamić z iloczynem kartezjańskim 👁 {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,}
gdzie 👁 {\displaystyle \mathbb {R} }
to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych^[2.1].

👁 Image

👁 Image

Iloczyn kartezjański zbiorów 👁 {\displaystyle A}
i 👁 {\displaystyle B}
to zbiór:

👁 {\displaystyle A\times B:=\left\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\right\}.}

Przykład: niech dane będą zbiory 👁 {\displaystyle A=\{x,y\}}
oraz 👁 {\displaystyle B=\{1,2,3\}.}
Ich iloczyn kartezjański to:

👁 {\displaystyle A\times B=\{(x,1),(y,1),(x,2),(y,2),(x,3),(y,3)\}.}

Uwaga: istnieje kilka nierównoważnych definicji par uporządkowanych. Najczęściej przyjmowana jest definicja Kuratowskiego:

👁 {\displaystyle (x,y):=\{\{x\},\{x,y\}\}.}

Jeśli 👁 {\displaystyle x\in X}
i 👁 {\displaystyle y\in Y,}
to zbiory 👁 {\displaystyle \{x\}}
i 👁 {\displaystyle \{x,y\}}
są podzbiorami odpowiedniej sumy zbiorów: 👁 {\displaystyle \{x\},\{x,y\}\subseteq X\cup Y.}
Można to też opisać przez zbiór potęgowy: 👁 {\displaystyle \{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y).}
Stąd wynika, że 👁 {\displaystyle (x,y)\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y)).}

Istnienie takiego zbioru wynika z aksjomatu podzbiorów, inaczej aksjomatu wyróżniania – jednego z założeń teorii mnogości ZF^[5].

W analogiczny sposób można zdefiniować iloczyn kartezjański więcej niż dwóch zbiorów. Mianowicie 👁 {\displaystyle A\times B\times C}
to zbiór wszystkich trójek uporządkowanych 👁 {\displaystyle (a,b,c)}
takich, że 👁 {\displaystyle a\in A,}
👁 {\displaystyle b\in B,}
👁 {\displaystyle c\in C.}
Definicja ta wymaga uściślenia, co się rozumie przez owe trójki. Można to zrobić na różne sposoby:

• potraktować te trójki jako ciągi trójwyrazowe^[3.2][2.3], czyli funkcje na zbiorze 👁 {\displaystyle \{1,2,3\}}
  w zbiór 👁 {\displaystyle A\cup B\cup C;}
  
• inny sposób to definiowanie 👁 {\displaystyle A\times B\times C}
  przez 👁 {\displaystyle A\times (B\times C),}
  a zatem trójka to para par: 👁 {\displaystyle (a,(b,c))}
  ^[6].

Formalnie zbiór trójek jako funkcji i zbiór 👁 {\displaystyle A\times (B\times C)}
nie są równe, ale w praktyce to rozróżnienie nie ma znaczenia^[3.3][2.4]; opisuje to bliżej jedna z dalszych sekcji.

Podobnie 👁 {\displaystyle A\times B\times C\times D}
można określić jako zbiór czwórek uporządkowanych 👁 {\displaystyle (a,b,c,d)}
takich, że 👁 {\displaystyle a\in A,}
👁 {\displaystyle b\in B,}
👁 {\displaystyle c\in C,}
👁 {\displaystyle d\in D.}
Czwórki te można interpretować dwojako:

• jako funkcje z 👁 {\displaystyle \{1,2,3,4\}}
  w zbiór 👁 {\displaystyle A\cup B\cup C\cup D,}
  
• jako pary par 👁 {\displaystyle \{a,\{b,\{c,d\}\}\},}
  wówczas iloczyn 👁 {\displaystyle A\times B\times C\times D}
  określa się jako 👁 {\displaystyle A\times (B\times (C\times D)).}
  

Iloczyny kartezjańskie większej liczby zbiorów definiuje się analogicznie. Przykład: zbiór 👁 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \ldots \times \mathbb {R} }
służy do konstruowania n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Dla rodziny zbiorów 👁 {\displaystyle \{A_{i}\colon i\in I\}}
można wprowadzić pojęcie uogólnionego iloczynu kartezjańskiego (często nazywanego produktem kartezjańskim (rodziny) zbiorów). Dokładniej, zbiór złożony ze wszystkich tych funkcji^[2.5]

👁 {\displaystyle f\colon I\to \bigcup _{i\in I}A_{i},}

takich że 👁 {\displaystyle f(i)\in A_{i}}
dla każdego 👁 {\displaystyle i\in I}
nazywa się produktem kartezjańskim rodziny zbiorów 👁 {\displaystyle \{A_{i}\colon i\in I\}}
i oznacza takimi symbolami jak

👁 {\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i},}
👁 {\displaystyle {\underset {i\in I}{\times }}A_{i}}
lub 👁 {\displaystyle {\underset {i\in I}{\operatorname {P} }}\;A_{i}.}

👁 Image

Iloczyn kartezjański nie jest przemienny – w ogólności kolejność argumentów ma znaczenie^[7]:

👁 {\displaystyle A\times B\neq B\times A.}

Iloczyn kartezjański nie jest też łączny – w ogólności:

👁 {\displaystyle A\times (B\times C)\neq (A\times B)\times C.}

Mimo to, jak wspomniano wyżej, ta niełączność nie jest istotna. Między tymi zbiorami istnieją odpowiednie bijekcje, które mają szczególny status z punktu widzenia teorii kategorii. Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane pokazali, że te bijekcje są transformacjami naturalnymi odpowiednich funktorów^[8].

Iloczyn kartezjański ma element absorbujący – jest nim zbiór pusty 👁 {\displaystyle (\emptyset )}
^[9]:

👁 {\displaystyle A\times \emptyset =\emptyset \times A=\emptyset .}

Iloczyn kartezjański jest rozdzielny względem sumy zbiorów 👁 {\displaystyle (\cup )}
, ich przekroju 👁 {\displaystyle (\cap )}
i ich różnicy 👁 {\displaystyle (\backslash )}
^[9]:

👁 {\displaystyle {\begin{aligned}A\times (B\cup C)&=(A\times B)\cup (A\times C),\\A\times (B\cap C)&=(A\times B)\cap (A\times C),\\A\times (B\backslash C)&=(A\times B)\backslash (A\times C).\end{aligned}}}

Niech 👁 {\displaystyle A}
i 👁 {\displaystyle B}
będą skończonymi zbiorami. Jeśli 👁 {\displaystyle \vert A\vert =n}
oraz 👁 {\displaystyle \vert B\vert =m,}
to 👁 {\displaystyle \vert A\times B\vert =nm}
^[2.1].

Dowód tego faktu można przeprowadzić indukcyjnie ze względu na 👁 {\displaystyle n.}
Jeżeli 👁 {\displaystyle n=1,}
to 👁 {\displaystyle A=\{a\},}
przy czym 👁 {\displaystyle a}
jest jedynym elementem zbioru 👁 {\displaystyle A.}
Wówczas wprost z definicji 👁 {\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid b\in B\}.}
Zbiór ten jest równoliczny z 👁 {\displaystyle B,}
ponieważ przekształcenie 👁 {\displaystyle b\mapsto (a,b)}
jest bijekcją między tymi zbiorami. Zatem w tym przypadku 👁 {\displaystyle \vert A\times B\vert =m=1\cdot m.}

Ponadto, jeżeli pewna liczba 👁 {\displaystyle n\geqslant 1}
ma tę własność, że 👁 {\displaystyle \vert A\times B\vert =nm}
dla każdego 👁 {\displaystyle A}
takiego, że 👁 {\displaystyle \vert A\vert =n}
oraz dla każdego 👁 {\displaystyle \vert B\vert =m,}
to tę własność ma także liczba 👁 {\displaystyle n+1.}
Istotnie, można przedstawić 👁 {\displaystyle (n+1)}
-elementowy zbiór 👁 {\displaystyle A}
w postaci sumy rozłącznych zbiorów 👁 {\displaystyle A=\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}\cup \{a_{n+1}\}.}
Wtedy z definicji sumy zbiorów zachodzą równości

👁 {\displaystyle {\begin{aligned}A\times B&=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\}=\\&=\{(a,b)\mid (a\in \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\lor a\in \{a_{n+1}\})\land b\in B\}=\\&=\{(a,b)\mid (a\in \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\land b\in B)\lor (a\in \{a_{n+1}\}\land b\in B)\}=\\&=\{(a,b)\mid a\in \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\land b\in B\}\cup \{(a,b)\mid a\in \{a_{n+1}\}\land b\in B\}=\\&=\left(\{a_{1},\dots ,a_{n}\}\times B\right)\cup \left(\{a_{n+1}\}\times B\right).\end{aligned}}}

Pierwszy z tych zbiorów ma z założenia indukcyjnego 👁 {\displaystyle nm}
elementów. Z kolei drugi ze zbiorów ma (na mocy rozumowania przeprowadzonego dla 👁 {\displaystyle n=1}
) 👁 {\displaystyle m}
elementów. Ponieważ wobec rozłączności 👁 {\displaystyle \{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}}
oraz 👁 {\displaystyle \{a_{n+1}\}}
zbiory te są rozłączne i sumują się do 👁 {\displaystyle A\times B,}
zachodzi równość 👁 {\displaystyle \vert A\times B\vert =nm+m=(n+1)m.}
To kończy dowód indukcyjny.

• m-produkt
• produkt (teoria kategorii)
• suma prosta
• topologia produktowa
• zbiór potęgowy

• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977.
• Matematyka. Włodzimierz Waliszewski (red.). Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988, s. 298, seria: Encyklopedia szkolna. ISBN 83-02-02551-8.

• 👁 publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać
  Direct product (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].

Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Iloczyn_kartezjański&oldid=79273348”