Diagonalizacja – sprowadzenie macierzy kwadratowej do postaci diagonalnej^[1], a konkretniej rozkład macierzy 👁 {\displaystyle A\in M_{k}(K)}
na iloczyn macierzy 👁 {\displaystyle P,\Delta ,P^{-1}\in M_{k}(K){:}}

👁 {\displaystyle A=P\Delta P^{-1},}

gdzie 👁 {\displaystyle \Delta }
jest macierzą diagonalną.

Macierz 👁 {\displaystyle P}
jest nazywana macierzą przejścia.

Współczynniki na głównej przekątnej macierzy diagonalnej 👁 {\displaystyle \Delta }
są równe kolejnym wartościom własnym macierzy 👁 {\displaystyle A,}
z kolei kolumny macierzy 👁 {\displaystyle P}
stanowią kolejne wektory własne macierzy 👁 {\displaystyle A.}

Macierze kwadratowe, które można przedstawić w postaci diagonalnej, nazywamy diagonalizowalnymi.

Rozkład Jordana i rozkład wartości osobliwych to dwa różne uogólnienia diagonalizacji, działające dla dowolnych macierzy.

Diagonalizacja ułatwia potęgowanie macierzy:

👁 {\displaystyle {\begin{aligned}A^{n}&=(P\Delta P^{-1})^{n}=\overbrace {P\Delta P^{-1}P\Delta P^{-1}\ldots P\Delta P^{-1}} ^{n}\\&=P\Delta ^{n}P^{-1}=P\operatorname {diag} (\lambda _{1}^{n}\ldots \lambda _{k}^{n})P^{-1},\end{aligned}}}

gdzie:

• 👁 {\displaystyle P^{-1}P=I_{k},}
  gdzie 👁 {\displaystyle I_{k}}
  jest macierzą jednostkową stopnia 👁 {\displaystyle k,}
  
• 👁 {\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}}
  są wartościami własnymi macierzy 👁 {\displaystyle A,}
  
• 👁 {\displaystyle \Delta ^{n}=\operatorname {diag} (\lambda _{1}^{n}\ldots \lambda _{k}^{n})}
  jest macierzą diagonalną o współczynnikach będących potęgami kolejnych wartości własnych.

Macierze symetryczne i hermitowskie są diagonalizowalne. Ogólniej, macierze normalne są diagonalizowalne unitarnie – tzn. istnieje dla nich unitarna macierz przejścia dla rozkładu diagonalnego.

W szczególności:

• jeśli 👁 {\displaystyle A}
  jest macierzą symetryczną, to ma rozkład diagonalny 👁 {\displaystyle A=P\Delta P^{-1},}
  w którym 👁 {\displaystyle P}
  jest pewną macierzą ortogonalną,
• jeśli 👁 {\displaystyle A}
  jest macierzą hermitowską, to ma rozkład diagonalny 👁 {\displaystyle A=P\Delta P^{-1},}
  w którym 👁 {\displaystyle P}
  jest pewną macierzą unitarną, a wartości własne są rzeczywiste,

Jeśli dla pewnej macierzy 👁 {\displaystyle A}
mamy rozkład diagonalny

👁 {\displaystyle A=P\Delta P^{-1},}

wówczas:

• macierze 👁 {\displaystyle A}
  i 👁 {\displaystyle \Delta }
  są podobne,
• iloczyn wszystkich wartości własnych macierzy 👁 {\displaystyle A}
  jest równy jej wyznacznikowi,
• jeśli 👁 {\displaystyle A}
  jest macierzą dodatnio określoną, wartości własne są nieujemne.

Załóżmy, że 👁 {\displaystyle (V,\xi )}
jest przestrzenią ortogonalną oraz 👁 {\displaystyle (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}
jest bazą 👁 {\displaystyle V}
taką, że dla każdego 👁 {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n-1}
zachodzi 👁 {\displaystyle g(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k})\neq 0}
(wyznacznik Grama). Wtedy istnieje baza prostopadła 👁 {\displaystyle (\beta _{1},\dots ,\beta _{n})}
przestrzeni 👁 {\displaystyle V,}
w której 👁 {\displaystyle \xi }
ma macierz:

👁 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}\Delta _{1}&0&0&0&\ldots &0\\0&{\frac {\Delta _{2}}{\Delta _{1}}}&0&0&\ldots &0\\0&0&{\frac {\Delta _{3}}{\Delta _{2}}}&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&{\frac {\Delta _{n-1}}{\Delta _{n-2}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {\Delta _{n}}{\Delta _{n-1}}}\end{matrix}}\right],}
gdzie 👁 {\displaystyle \Delta _{k}=g(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k})}
dla 👁 {\displaystyle k\in \{1,\dots ,n\}}

• postać Jordana