Klotoida, spirala Cornu, spirala Eulera – krzywa, której krzywizna jest proporcjonalna do długości łuku – licząc od ustalonego punktu (0,0).

Opisana przez francuskiego fizyka Marie Alfreda Cornu w roku 1874, w związku z badaniami w dziedzinie optyki falowej, konkretniej dyfrakcji światła^[1]. Krzywa ta, poza obliczeniami dotyczącymi dyfrakcji fal, znalazła zastosowanie w projektowaniu dróg i linii kolejowych. Pojazd poruszający się po klotoidzie ze stałą prędkością liniową ma jednostajne przyspieszenie kątowe i jednostajnie rosnącą siłę odśrodkową.

Równanie parametryczne klotoidy ma następującą postać:

👁 {\displaystyle x=a{\sqrt {\pi }}\int \limits _{0}^{t}{\cos }\left({\frac {\pi t^{2}}{2}}\right)dt}

👁 {\displaystyle y=a{\sqrt {\pi }}\int \limits _{0}^{t}{\sin }\left({\frac {\pi t^{2}}{2}}\right)dt,}

gdzie:

👁 {\displaystyle t}
– parametr 👁 {\displaystyle t={\frac {s}{a{\sqrt {\pi }}}},}

👁 {\displaystyle s}
– długość łuku,

👁 {\displaystyle a}
– współczynnik z równania wyrażającego proporcjonalność krzywizny 👁 {\displaystyle \kappa }
do długości łuku: 👁 {\displaystyle \kappa ={\frac {s}{a^{2}}}.}

Krzywa ta ma dwa punkty asymptotyczne o współrzędnych:

👁 {\displaystyle \left({\frac {a{\sqrt {\pi }}}{2}},{\frac {a{\sqrt {\pi }}}{2}}\right)\quad \operatorname {i} \quad \left(-{\frac {a{\sqrt {\pi }}}{2}},-{\frac {a{\sqrt {\pi }}}{2}}\right).}

Jest symetryczna względem punktu (0,0). Punkt ten jest również punktem przegięcia klotoidy. Oś 👁 {\displaystyle OX}
jest styczna do krzywej w tym punkcie.

• całka Fresnela
• krzywa przejściowa
• lista krzywych

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1997, wyd. XIV, ISBN 83-01-11658-7.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cornu Spiral, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
• 👁 publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać
  Cornu spiral (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].