Sinus je goniometrická funkce úhlu. Zapisuje se jako 👁 {\displaystyle \sin \varphi }
, kde 👁 {\displaystyle \varphi }
je velikost úhlu. Pro ostré úhly je definována vpravoúhlém trojúhelníku jako poměr protilehlé odvěsny a přepony (nejdelší strany). Definici lze konzistentně rozšířit z oboru reálných čísel do oboru komplexních čísel.

Funkce 👁 {\displaystyle y=\sin x}
má následující vlastnosti (kde 👁 {\displaystyle k}
je libovolné celé číslo):

• Definiční obor: 👁 {\displaystyle \mathbb {R} }
  (reálná čísla)
• Obor hodnot: 👁 {\displaystyle \langle -1;1\rangle }
  
• Rostoucí: v intervalu ;{\frac {1}{2}}\pi +2k\pi \right)} 👁 {\displaystyle \textstyle \left(-{\frac {1}{2}}\pi +2k\pi ;{\frac {1}{2}}\pi +2k\pi \right)}
  
• Klesající: v intervalu ;{\frac {3}{2}}\pi +2k\pi \right)} 👁 {\displaystyle \textstyle \left({\frac {1}{2}}\pi +2k\pi ;{\frac {3}{2}}\pi +2k\pi \right)}
  
• Maximum 👁 {\displaystyle 1}
  v bodech 👁 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi +2k\pi }
  
• Minimum 👁 {\displaystyle -1}
  v bodech 👁 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}\pi +2k\pi }
  
• Derivace: 👁 {\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,\!}
  
• Integrál: 👁 {\displaystyle \int \sin x\,\mathrm {d} x=-\cos x+c}
  
• Taylorova řada: 👁 {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
  
• Inverzní funkce na intervalu 👁 {\displaystyle \langle -1;1\rangle }
  a oborem hodnot ;{\frac {1}{2}}\pi \rangle } 👁 {\displaystyle \langle -{\frac {1}{2}}\pi ;{\frac {1}{2}}\pi \rangle }
  : Arkus sinus (arcsin), není prostá na celém 👁 {\displaystyle \mathbb {R} }
  
• Grafem funkce je sinusoida
• Sinus doplňkového úhlu: 👁 {\displaystyle \sin({\frac {\pi }{2}}-x)=\cos x}
  
• Sinus dvojnásobného argumentu: 👁 {\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x}
  
• Sinus polovičního argumentu: 👁 {\displaystyle \sin ^{2}x/2={\frac {1-\cos x}{2}}}
  
• Délka sinusoidy (na intervalu periody): Navinutím grafu funkce 👁 {\displaystyle y=A\sin(x/r)}
  na válec o poloměru 👁 {\displaystyle r}
  vznikne elipsa o poloosách 👁 {\displaystyle r}
  , 👁 {\displaystyle {\sqrt {r^{2}+A^{2}}}}
  
• funkce sinus je:
  • lichá
  • omezená shora i zdola
  • periodická s periodou 👁 {\displaystyle 2\pi }
    

Funkci sinu :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } 👁 {\displaystyle \sin :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
lze zavést axiomaticky:

• definiční obor funkce je reálná osa 👁 {\displaystyle \mathbb {R} }
  
• 👁 {\displaystyle \sin(0)=0}
  
• pro každé dva prvky 👁 {\displaystyle x}
  a 👁 {\displaystyle y}
  definičního oboru platí: 👁 {\displaystyle \sin(x+y)+\sin(x-y)=2\sin(x)\sin({\frac {\pi }{2}}-y)}
  
• pro každé dva prvky 👁 {\displaystyle x>y}
  z uzavřeného intervalu 👁 {\displaystyle \langle 0,{\frac {\pi }{2}}\rangle }
  platí: 👁 {\displaystyle \sin(x)>\sin(y)}
  
• pro prvky 👁 {\displaystyle x}
  definičního oboru platí: 👁 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}
  

Výše uvedených pět axiomů splňuje právě jedna funkce, tj. funkce sinus.

Funkce sinus je v komplexních číslech definována součtem řady

👁 {\displaystyle \sin z=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
,

která konverguje na celé komplexní rovině. Pro každá komplexní čísla 👁 {\displaystyle z}
, 👁 {\displaystyle z_{1}}
a 👁 {\displaystyle z_{2}}
platí:

👁 {\displaystyle \sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}
,

👁 {\displaystyle \sin \left(z_{1}+z_{2}\right)=\sin z_{1}\cos z_{2}+\cos z_{1}\sin z_{2}}
,

👁 {\displaystyle \sin iz=i\sinh z}
.

Tyto vzorce plynou přímo z příslušných definičních mocninných řad daných funkcí. Sinus je jednoznačná celá funkce.

Sinus se jednoduše definuje na jednotkové kružnici (kružnici se středem v počátku a s poloměrem jedna): Je-li 👁 {\displaystyle \alpha }
úhel, který svírá rameno s kladnou poloosou 👁 {\displaystyle x}
(orientovaný od kladné poloosy 👁 {\displaystyle x}
proti směru hodinových ručiček), je 👁 {\displaystyle \sin \alpha }
roven 👁 {\displaystyle y}
-ové souřadnici průsečíku této kružnice s koncovým ramenem úhlu 👁 {\displaystyle \alpha }
, jinak řečeno, rovná se délce kolmice spuštěné z tohoto bodu na osu 👁 {\displaystyle x}
. Délce úsečky z počátku k patě této kolmice, přesněji (s ohledem na znaménko) 👁 {\displaystyle x}
-ové souřadnici průsečíku jednotkové kružnice s koncovým ramenem úhlu 👁 {\displaystyle \alpha }
, je pak roven 👁 {\displaystyle \cos \alpha }
. Poloměr, kolmice a tato úsečka tvoří pravoúhlý trojúhelník, pro nějž platí Pythagorova věta, takže také platí:

👁 {\displaystyle (\sin \alpha )^{2}+(\cos \alpha )^{2}=1}
.

Na jednotkové kružnici je také vidět, že sinus je v prvním a druhém kvadrantu nezáporný (👁 {\displaystyle \geq 0}
), kdežto ve třetím a čtvrtém nekladný (👁 {\displaystyle \leq 0}
). V prvním a čtvrtém kvadrantu je rostoucí, ve druhém a třetím klesající.

Protože zřejmě platí, že

👁 {\displaystyle \sin \alpha =\sin(\alpha +k\cdot 2\pi )}
,

kde 👁 {\displaystyle k}
je libovolné celé číslo, lze funkci sinus rozšířit i na záporné úhly a konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel. Sinusoida pak zhruba (při nekonečně dlouhé ojnici) popisuje například pohyb pístu ve válci spalovacího motoru.

Tabulka pro orientaci v jednotkové kružnici ve stupních a radiánech:

Tabulka hodnot po 90° v jednotkové kružnici:

Sinus, stejně jako ostatní goniometrické funkce, patří mezi tzv. transcendentní funkce, jejichž hodnoty nelze přímo vypočítat pomocí elementárních operací. Pro výpočty s goniometrickými funkcemi se používají počítače a vědecké kalkulátory, takže jejich hodnoty většinou není třeba počítat. Pro ruční výpočet se používaly tabulky, kde byly tyto hodnoty už vypočteny pro určité hodnoty úhlů, a pro mezilehlé hodnoty se používala interpolace. Pro výpočty například při tvorbě takových tabulek se používají nekonečné řady. V počítačích a kalkulátorech se hodnoty goniometrických funkcí obvykle aproximují pomocí snáze vypočítatelných hodnot obvykle Čebyševových polynomů nebo nekonečných řad (Taylorova řada)

Hodnoty goniometrických funkcí lze však přesně určit pro všechny násobky 60° a 45°, a to následujícím způsobem:

Mějme rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s délkami odvěsen 👁 {\displaystyle a=b=1}
; úhly při přeponě jsou stejné a tedy rovné 👁 {\displaystyle \pi /4}
(45°). Pak podle Pythagorovy věty:

👁 {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {2}}}

a tedy ovšem

👁 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}}

👁 {\displaystyle {\mbox{tg}}{\frac {\pi }{4}}={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {2}}}=1}

Goniometrické funkce úhlů 👁 {\displaystyle \pi /3}
radiánů (60°) a 👁 {\displaystyle \pi /6}
radiánů (30°) se určí pomocí rovnostranného trojúhelníka se stranami délky jedna. Všechny jeho úhly jsou rovny 👁 {\displaystyle \pi /3}
radiánů (60°). Když ho rozdělíme na poloviny, získáme pravoúhlý trojúhelník súhly o velikostech 👁 {\displaystyle \pi /6}
a 👁 {\displaystyle \pi /3}
. Jeho kratší odvěsna má délku 👁 {\displaystyle 1/2}
, delší 👁 {\displaystyle {\sqrt {3}}/2}
a přepona délku jedna. Pak tedy:

👁 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}}

👁 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{6}}=\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}

👁 {\displaystyle {\mbox{tg}}{\frac {\pi }{6}}={\mbox{cotg}}{\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}}