Stevens maakte al in 1973 een reis door Engeland, waarbij zij twee toernooien won: South Northumberland Championships in juni^[7] en East of England (Felixstowe) in juli.^[8] Een jaar later, op zeventienjarige leeftijd, speelde zij op Wimbledon 1974, waar zij de derde ronde bereikte.

In 1975 stond Stevens voor het eerst in een WTA-finale, op het toernooi van Surbiton – hier veroverde zij haar eerste titel, door de Amerikaanse Patti Hogan te verslaan. In totaal won zij vier WTA-titels, de laatste in 1979 in Hollywood (Florida). Dat zij daarbij in de eerste ronde Chris Evert versloeg,^[9] was een nieuwsfeit dat de kranten haalde.^[10] Evert werd namelijk uiterst zelden in de eerste ronde verslagen – de laatste keer was in maart 1976 geweest, toen de Amerikaanse op het Virginia Slims of Boston in de eerste ronde door Dianne Fromholtz was geklopt.^{[11][12][13][14]}

Haar beste resultaat op de grandslamtoernooien is het bereiken van de kwartfinale. Haar hoogste notering op de WTA-ranglijst is de 7e plaats, die zij bereikte in juli 1980,^[15] na haar kwartfinale op Wimbledon.

Tijdens haar reis door Engeland in 1973 bereikte Stevens beide finales van de Essex Championships in Frinton-on-Sea^[16] – na verlies van de enkelspelfinale van Corinne Molesworth, meldde zij zich af voor de dubbelspelfinale; omen? Een jaar later nam zij, ter voorbereiding op Wimbledon, deel aan het grastoernooi Green Shield Kent Championships in Beckenham – samen met landgenote Rowena Whitehouse bereikte zij daar haar eerste WTA-finale, die zij wonnen van Sally Greer en Betsy Nagelsen. Anderhalve week later speelde Stevens op Wimbledon 1974, waar zij de derde ronde bereikte met de Amerikaanse Kathy May aan haar zijde.

Op het toernooi van Surbiton in 1975, waar zij al de enkelspeltitel won, ging zij ook met de dubbelspeltitel weg, aan de zijde van de Amerikaanse Patti Hogan die zij in de enkelspelfinale versloeg. In totaal won Stevens zes WTA-titels, de laatste in 1979 in Chichester, samen met de Australische Wendy Turnbull.

Haar beste resultaat op de grandslamtoernooien is het bereiken van de halve finale, op het US Open 1977 samen met de Australische Kerry Reid.

In 1977 maakte Stevens deel uit van het Zuid-Afrikaanse Fed Cup-team – zij behaalde daar een winst/verlies-balans van 3–1, waarbij zij onder meer de Nederlandse Elly Vessies versloeg.

In 1978 kreeg Stevens een ernstige knieblessure, waaraan zij werd geopereerd, met meer dan 300 hechtingen.^[17] Nadien droeg zij een kniebrace.^[18] Op 20 juli 1980, de finaledag van het Player's Challenge Classic-toernooi in Montréal, ging zij zowel in het enkel- als in het dubbelspel de finale spelen. Vanwege regen werd de finale driemaal uitgesteld. Door de vochtige omstandigheden en door de harde ondergrond begonnen haar knieën problemen te geven, en zij verloor de enkelspelfinale van de (toen nog) Tsjechische Martina Navrátilová met 2–6 en 1–6. Tijdens de dubbelspelfinale, met de Amerikaanse Ann Kiyomura aan haar zijde, werden de pijn en vochtophoping in haar onderbenen (shin splints^[19]) progressief erger, waardoor zij bij een stand van 6–3 en 6–6^3–6 de strijd moest staken.^[20] Na het US Open eind augustus (verloren openingspartij) nam zij twee maanden rust alvorens in november, voor het eerst en voor het laatst, deel te nemen aan het Australian Open – als vijfde geplaatst bereikte zij daar de kwartfinale, waarin Navrátilová wederom een onneem­bare barrière bleek.^[21] De week erna speelde Stevens nog op het New South Wales Open, maar vervolgens besloot zij met tennis te stoppen, zowel vanwege de aanhoudende blessure als vanwege haar ophanden zijnde huwelijk.^[20] Zij stond toen nog steeds in de top-10.^[6]

Op 14 februari^[22] 1981 trad Stevens in het huwelijk met Kevin Leo-Smith.^[23] Zij runden jarenlang een safari-organisatie. In de periode 2009–2011 was zij captain van het Zuid-Afrikaanse Fed Cup-team. Sinds 2009 heeft zij in Johannesburg een tennisschool, de Greer Stevens International Tennis Academy.^[24]