• Seja 👁 {\displaystyle I}
  um intervalo de R com mais do que um ponto, seja 👁 {\displaystyle a}
  ∈👁 {\displaystyle I}
  e seja 👁 {\displaystyle f}
  uma função de 👁 {\displaystyle I}
  em R derivável em 👁 {\displaystyle a}
  . Então 👁 {\displaystyle f}
  é contínua em 👁 {\displaystyle a}
  . O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo.
• Seja 👁 {\displaystyle I}
  um intervalo de R com mais do que um ponto, seja 👁 {\displaystyle a}
  ∈👁 {\displaystyle I}
  e sejam 👁 {\displaystyle f}
  e 👁 {\displaystyle g}
  funções de 👁 {\displaystyle I}
  em R deriváveis em 👁 {\displaystyle a}
  . Então as funções 👁 {\displaystyle f}
  ±👁 {\displaystyle g}
  , 👁 {\displaystyle f.g}
  e (caso 👁 {\displaystyle g(a)}
  ≠👁 {\displaystyle 0}
  ) 👁 {\displaystyle f/g}
  também são deriváveis em 👁 {\displaystyle a}
  e:
  • 👁 {\displaystyle (f\pm g)'(a)=f'(a)\pm g'(a)}
    
  • 👁 {\displaystyle (f.g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)}
    
  • 👁 {\displaystyle (f/g)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^{2}}}}
    

Em particular, se 👁 {\displaystyle c}
∈R, então 👁 {\displaystyle (c.f)'=c.f'}
. Resulta daqui e de se ter 👁 {\displaystyle (f+g)'=f'+g'}
que a derivação é uma aplicação linear.

• Sejam 👁 {\displaystyle I}
  e 👁 {\displaystyle J}
  intervalos de R com mais do que um ponto, seja 👁 {\displaystyle a}
  ∈👁 {\displaystyle I}
  , seja 👁 {\displaystyle f}
  uma função de 👁 {\displaystyle I}
  em 👁 {\displaystyle J}
  derivável em 👁 {\displaystyle a}
  e seja seja 👁 {\displaystyle g}
  uma função de 👁 {\displaystyle J}
  em R derivável em 👁 {\displaystyle f(a)}
  . Então 👁 {\displaystyle g}
  o👁 {\displaystyle f}
  é derivável em 👁 {\displaystyle a}
  e

👁 {\displaystyle (g\circ f)'(a)=g'(f(a)).f'(a)}
.

Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia.

• Seja 👁 {\displaystyle I}
  um intervalo de R com mais do que um ponto, seja 👁 {\displaystyle a}
  ∈👁 {\displaystyle I}
  e seja 👁 {\displaystyle f}
  uma função contínua de 👁 {\displaystyle I}
  em R derivável em 👁 {\displaystyle a}
  com derivada não nula. Então a função inversa 👁 {\displaystyle f^{-1}}
  é derivável em 👁 {\displaystyle f(a)}
  e

👁 {\displaystyle (f^{-1})'(f(a))={\frac {1}{f'(a)}}\cdot }

Outra maneira de formular este resultado é: se 👁 {\displaystyle a}
está na imagem de 👁 {\displaystyle f}
e se 👁 {\displaystyle f}
for derivável em 👁 {\displaystyle f^{-1}(a)}
com derivada não nula, então

👁 {\displaystyle (f^{-1})'(a)={\frac {1}{f'{\bigl (}f^{-1}(a){\bigr )}}}\cdot }

Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R em R definida por f(x)=x²+x−1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x)−f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive1). De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,f(0)) mais perto estará este de ser linear.

Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura abaixo.

Diz-se que f é derivável ou diferenciável se o for em todos os pontos do domínio.

• Uma função derivável 👁 {\displaystyle f}
  de 👁 {\displaystyle I}
  em R é constante se e só se a derivada for igual a 👁 {\displaystyle 0}
  em todos os pontos. Isto é uma consequência do teorema da média.
• Uma função derivável 👁 {\displaystyle f}
  de 👁 {\displaystyle I}
  em R é crescente se e só se a derivada for maior ou igual a 👁 {\displaystyle 0}
  em todos os pontos. Isto também é uma consequência do teorema da média.

Uma função cuja derivada seja sempre maior que 👁 {\displaystyle 0}
é estritamente crescente. Uma observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada assume o valor 👁 {\displaystyle 0}
em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de R em R definida por 👁 {\displaystyle f(x)=x^{3}}
. Naturalmente, existem enunciados análogos para funções decrescentes.

• Se 👁 {\displaystyle f}
  for uma função derivável de 👁 {\displaystyle I}
  em R, sendo 👁 {\displaystyle I}
  um intervalo de R com mais do que um ponto, então 👁 {\displaystyle f'(I)}
  também é um intervalo de R. Outra maneira de formular este resultado é: se 👁 {\displaystyle f}
  for uma função derivável de 👁 {\displaystyle [a,b]}
  em R e se 👁 {\displaystyle y}
  for um número real situado entre 👁 {\displaystyle f'(a)}
  e 👁 {\displaystyle f'(b)}
  (isto é, 👁 {\displaystyle f'(a)}
  ≤👁 {\displaystyle y}
  ≤👁 {\displaystyle f'(b)}
  ou 👁 {\displaystyle f'(a)}
  ≥👁 {\displaystyle y}
  ≥👁 {\displaystyle f'(b)}
  ), então existe algum 👁 {\displaystyle c}
  ∈👁 {\displaystyle [a,b]}
  tal que 👁 {\displaystyle f'(c)=y}
  . Este resultado é conhecido por teorema de Darboux.

Seja 👁 {\displaystyle I}
um intervalo de R com mais do que um ponto e seja 👁 {\displaystyle f}
uma função de 👁 {\displaystyle I}
em R. Diz-se que 👁 {\displaystyle f}
é continuamente derivável ou de classe 👁 {\displaystyle C^{1}}
se 👁 {\displaystyle f}
for derivável e, além disso, a sua derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável é

👁 {\displaystyle {\begin{array}{rccc}f\colon &\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &{\begin{cases}x^{2}\mathop {\mathrm {sen} } ({\frac {1}{x}})&{\text{ se }}x\neq 0\\0&{\text{ se }}x=0{\text{,}}\end{cases}}\end{array}}}

pois o limite 👁 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}f'(x)}
não existe; em particular, f' não é contínua em👁 {\displaystyle 0}
.

Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a segunda derivada da função f. De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de terceira derivada e assim por diante. Podemos nos referir às derivadas subsequentes de f por:

👁 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right),\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right)\right)}

e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregada é:

👁 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},\quad {\frac {\mathrm {d} ^{3}f}{\mathrm {d} x^{3}}}}

ou alternativamente,

👁 {\displaystyle f'(x),\quad f''(x),\quad f'''(x)}

ou ainda

👁 {\displaystyle f^{(1)}(x),\quad f^{(2)}(x),\quad f^{(3)}(x)}

Se, para algum k∈N, f for k vezes derivável e, além disso, f^(k) for uma função contínua, diz-se que f é de classe C^k.

Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que f é infinitamente derivável ou indefinidamente derivável ou ainda de classe C^∞.

Se 👁 {\displaystyle c}
∈R, a função 👁 {\displaystyle f}
de R em R definida por 👁 {\displaystyle f(x)=c}
é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a 👁 {\displaystyle 0}
em todos os pontos, pois, para cada 👁 {\displaystyle a}
∈R:

👁 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}{\frac {c-c}{x-a}}=0}
.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir 👁 {\displaystyle \phi _{a}}
de R em R por 👁 {\displaystyle \phi _{a}(x)=0}
, então 👁 {\displaystyle \phi _{a}}
é contínua e, para cada 👁 {\displaystyle x}
e cada 👁 {\displaystyle a}
reais, tem-se

👁 {\displaystyle c=c+0.(x-a)=c+\varphi _{a}(x).(x-a)}
;

além disso, 👁 {\displaystyle f'(a)=\phi _{a}(a)=0}
.

A função 👁 {\displaystyle f}
de R em R definida por 👁 {\displaystyle f(x)=x}
é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a 👁 {\displaystyle 1}
em todos os pontos, pois, para cada 👁 {\displaystyle a}
∈R:

👁 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}{\frac {x-a}{x-a}}=1}
.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir 👁 {\displaystyle \phi _{a}}
de R em R por 👁 {\displaystyle \phi _{a}(x)=1}
, então 👁 {\displaystyle \phi _{a}}
é contínua e, para cada 👁 {\displaystyle x}
e cada 👁 {\displaystyle a}
reais, tem-se

👁 {\displaystyle x=a+1.(x-a)=a+\varphi _{a}(x).(x-a)}
;

além disso, 👁 {\displaystyle f'(a)=\phi _{a}(a)=1}
.

A função 👁 {\displaystyle f}
de R em R definida por 👁 {\displaystyle f(x)=x^{2}}
é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada no ponto 👁 {\displaystyle a}
∈R é igual a 👁 {\displaystyle 2a}
, pois:

👁 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}{\frac {x^{2}-a^{2}}{x-a}}=\lim _{x\rightarrow a}{\frac {(x-a)(x+a)}{x-a}}=\lim _{x\rightarrow a}x+a=2a}
.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir 👁 {\displaystyle \phi _{a}}
de R em R por 👁 {\displaystyle \phi _{a}(x)=x+a}
, então 👁 {\displaystyle \phi _{a}}
é contínua e, para cada 👁 {\displaystyle x}
e cada 👁 {\displaystyle a}
reais, tem-se

👁 {\displaystyle x^{2}=a^{2}+(x^{2}-a^{2})=a^{2}+\varphi _{a}(x).(x-a)}
;

além disso, 👁 {\displaystyle f'(a)=\phi _{a}(a)=2a}
.

A função módulo de R em R não é derivável em 👁 {\displaystyle 0}
pois

👁 {\displaystyle (\forall x\in \mathbb {R} ):{\frac {|x|-|0|}{x-0}}={\begin{cases}1&{\text{ se }}x>0\\-1&{\text{ se }}x<0\end{cases}}}

No entanto, é derivável em todos os outros pontos de R: a derivada em 👁 {\displaystyle a}
é igual a 👁 {\displaystyle 1}
quando 👁 {\displaystyle a>0}
e é igual a 👁 {\displaystyle -1}
quando 👁 {\displaystyle a<0}
.

Um ponto em que a segunda derivada de uma função muda de sinal é chamado de um ponto de inflexão. Em um ponto de inflexão, a segunda derivada pode ser zero, como no caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = x³, ou ele pode deixar de existir, como é o caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = 👁 {\displaystyle x^{\frac {1}{3}}\,\!}
. Em um ponto de inflexão, uma função convexa passa a ser uma função côncava, ou vice-versa.

Em muitos casos, a aplicação direta do quociente de diferença de Newton pode ser evitado usando regras de diferenciação, evitando complicados cálculos de limite.  Algumas das regras mais básicas são as seguintes:

• Regra da constante: se f(x) é constante, então:

👁 {\displaystyle f'=0.\,}

• Regra da soma:

👁 {\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'\,}

para todas as funções f e g e todos os números reais 👁 {\displaystyle \alpha }
e 👁 {\displaystyle \ beta}

• Regra do produto:

👁 {\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}

para todas as funções f e g. Por conseguinte, isso significa que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função

👁 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\pi r^{2}=2\pi r.\,}

• Regra do quociente:

👁 {\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}

para todas as funções f e g, em que g ≠ 0.

• Regra da cadeia:

Se 👁 {\displaystyle f(x)=h(g(x)),}

então:

👁 {\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).\,}

A derivada de 👁 {\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,}

é 👁 {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {\mathrm {d} \left(x^{2}\right)}{\mathrm {d} x}}\cos(x^{2})-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln {x}{\frac {\mathrm {d} \left(e^{x}\right)}{\mathrm {d} x}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}

As derivadas conhecidas de funções elementares 👁 {\displaystyle x^{2},x^{4},}
 sen(x) e 👁 {\displaystyle exp(x)=e^{x}}
, assim como a constante 7, também foram usadas. 

Uma função vetorial y(t) de uma variável real de uma variável real envia números reais de vetores em 👁 {\displaystyle R^{n}}
 algum espaço vetorial. A função vetorial pode ser dividido em suas funções coordenadas y1(t), y2(t),...,yn(t), significando que y(t) = (👁 {\displaystyle y_{1}}
(t), ..., 👁 {\displaystyle y_{n}}
 (t)). Isto inclui, por exemplo, curvas paramétricas em R² ou R³.

As funções de coordenadas são funções de valores reais, de modo que a definição acima de derivada aplica-se a eles. A derivada de y (t) é definida como sendo o vetor, chamado o vetor tangente, cujas coordenadas são as derivadas das funções de coordenadas. Isto é,  

👁 {\displaystyle \mathbf {y} '(t)=(y'_{1}(t),\ldots ,y'_{n}(t)).}

equivalentemente, 

👁 {\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}
se o limite existe.

A subtração no numerador é a subtração de vetores, não escalares. Se a derivada de y existe para cada valor de t, então y' é outra função vetorial. 

Se 👁 {\displaystyle e_{1}}
, ..., 👁 {\displaystyle e_{n}}
 é a base padrão para 👁 {\displaystyle R^{n}}
, então y (t) também pode ser escrito como 👁 {\displaystyle y_{1}}
(t)👁 {\displaystyle e_{1}}
+ ... + 👁 {\displaystyle y_{n}}
(t)👁 {\displaystyle e_{n}}
. Se assumirmos que a derivada de uma função vetorial mantém a propriedade da linearidade, então a derivada de y (t) deve ser

👁 {\displaystyle y'_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+\cdots +y'_{n}(t)\mathbf {e} _{n}}

porque cada um dos vetores de base é uma constante. 

Esta generalização é útil, por exemplo, se y (t) é o vetor de posição de uma partícula no tempo t; em seguida, o derivado y '(t) é o vetor de velocidade da partícula no tempo t. 

Quando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito de derivada parcial. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de uma função para uma determinada variável, enquanto as outras se mantêm fixadas. No gráfico, é usada para determinar a variação da função em um determinado eixo. Derivadas parciais são representadas como, por exemplo, ∂z/∂x, sendo x a variável fixada sobre uma função em z.

Suponha que f é uma função que depende mais de uma variável, por exemplo, 

👁 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}

f pode ser reinterpretado como uma família de funções de uma variável indexada pelas outras variáveis: 

👁 {\displaystyle f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}

Em outras palavras, cada valor de x escolhe uma função,  denotando 👁 {\displaystyle f_{x}}
, que é uma função de um número real.  Ou seja, 

👁 {\displaystyle x\mapsto f_{x},\,}

👁 {\displaystyle f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}

Uma vez que um valor de x é escolhido,  digamos a, então f(x,y) determina a função 👁 {\displaystyle f_{a}}
 que envia y a a2+ay+y2: 

👁 {\displaystyle f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}.\,}

Nesta expressão, a é uma constante, e não uma variável, de modo que 👁 {\displaystyle f_{a}}
 é uma função de uma única variável real. Consequentemente, a definição da derivada para uma função de uma variável aplica-se: 

👁 {\displaystyle f_{a}'(y)=a+2y.\,}

O procedimento acima pode ser realizada por qualquer escolha de a. Montando as derivadas juntas em uma função, dá uma função que descreve a variação de f na direção y: 

👁 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.}

Esta é a derivada parcial de f em relação a y. Aqui, ∂ é o símbolo derivada parcial. 

Em geral, a derivada parcial de uma função f (👁 {\displaystyle x_{1}}
, ..., 👁 {\displaystyle x_{n}}
) na direção de 👁 {\displaystyle x_{i}}
, no ponto (👁 {\displaystyle a_{1}}
..., 👁 {\displaystyle a_{n}}
) é definido como sendo:  

👁 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.}
 

Na diferença de quociente acima, todas as variáveis, exceto 👁 {\displaystyle x_{i}}
, são mantidos fixos. Essa escolha de valores fixos determina uma função de uma variável. 

{👁 {\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),}

e por definição, 

👁 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).}

Em outras palavras, as diferentes opções de classificar uma família de funções de uma variável tal como no exemplo acima. Esta expressão também mostra que o cálculo das derivadas parciais reduz para o cálculo dos derivados de uma variável. 

Um exemplo importante de uma função de várias variáveis é o caso de uma função de valor escalar f (👁 {\displaystyle x_{1}}
, ..., 👁 {\displaystyle x_{n}}
) em um domínio no espaço Euclidiano 👁 {\displaystyle R^{n}}
 (por exemplo, em R² ou R²). Neste caso, f tem uma derivada parcial ∂f / ∂xj em relação a cada variável 👁 {\displaystyle x_{j}}
. No ponto a, estas derivadas parciais definem o vetor 

👁 {\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).}

Este vetor é denominado gradiente de f em a. Se f é diferenciável em todos os pontos em algum domínio, então o gradiente é uma função vetorial ∇f  que leva o ponto a para o vetor ∇f(a). 

Consequentemente, o gradiente determina um campo vetorial.

Se f é uma função com valores reais em 👁 {\displaystyle R^{n}}
, então a derivada parcial de f mede a sua variação na direção dos eixos das coordenadas. Por exemplo, se f é uma função de x e y, então sua derivada parcial mede a variação em f na direção x e na direção y. Contudo, elas (derivadas parciais) não medem diretamente a variação de f em qualquer outra direção, tal como aquela ao longo da linha diagonal y=x. Estas são medidas usando-se as derivadas direcionais. Escolha um vetor: 

👁 {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}).}

A derivada direcional de f na direção de v no ponto x é o limite  

👁 {\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}

Em alguns casos pode ser mais fácil computar ou estimar a derivada direcional depois de mudar o comprimento do vetor. Frequentemente isso é feito para transformar o problema numa computação de uma derivada direcional na direção de um vetor unitário. Para ver como isso funciona, suponha v = λu. Substitua h = k/λ no quociente da diferença. 

O quociente da diferença torna-se: 

👁 {\displaystyle {\frac {f(\mathbf {x} +(k/\lambda )(\lambda \mathbf {u} ))-f(\mathbf {x} )}{k/\lambda }}=\lambda \cdot {\frac {f(\mathbf {x} +k\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{k}}.}

Isso é λ vezes o quociente da diferença para a derivada direcional de f  no que diz respeito a u. Além disso, tomar o limite como h tendendo a zero é o mesmo que tomar o limite como k tendendo a zero, pois h e k são múltiplos um do outro. 

Portanto, Dv(f) = λDu(f). Devido a essa propriedade de redirecionamento, derivadas direcionais são frequentemente consideradas apenas para vetores unitários.    

Se todas as derivadas parciais de f existem e são contínuas em x, então elas determinam a derivada direcional de f na direção de v  pela fórmula: 

👁 {\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}
 

Essa é a consequência da definição de derivada total. Diz-se que a derivada direcional é linear em v, significando que D👁 {\displaystyle _{V}}
 + 👁 {\displaystyle _{W}}
(f) = D👁 {\displaystyle _{V}}
(f) + D👁 {\displaystyle _{W}}
(f).  

A mesma definição também é aplicável quando f é a função com valores em 👁 {\displaystyle R^{m}}
. . A definição acima é aplicada a cada componente dos vetores. Nesse caso, a derivada direcional é um vetor em 👁 {\displaystyle R^{m}}
.

1. Se 👁 {\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
   , 👁 {\displaystyle z_{0}\in U}
   e 👁 {\displaystyle h\in \mathbb {R} }
   , então 👁 {\displaystyle Df(z_{0})h=h.f'(z_{0}).}
   
2. Se 👁 {\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}
   , 👁 {\displaystyle z_{0}\in U}
   e 👁 {\displaystyle h\in \mathbb {R} ,}
   então 👁 {\displaystyle Df(z_{0})h=h.(f_{1}'(z_{0}),f_{2}'(z_{0}),...,f_{n}'(z_{0})).}
   
3. Se 👁 {\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }}
   , 👁 {\displaystyle z_{0}\in U}
   e 👁 {\displaystyle h=(h_{1},\cdots ,h_{m})\in \mathbb {R} ^{m},}
   então 👁 {\displaystyle Df(z_{0})h=h_{1}.{\partial f \over \partial x_{1}}(z_{0})+\cdots +h_{m}.{\partial f \over \partial x_{m}}(z_{0})}
   
4. Se 👁 {\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}
   , 👁 {\displaystyle z_{0}\in U}
   e 👁 {\displaystyle h\in \mathbb {R} ^{n},}
   então 👁 {\displaystyle Df(z_{0})h=(h.\nabla f_{1}(z_{0}),\cdots ,h.\nabla f_{n}(z_{0}))}
   

Nesta definição, podemos considerar a derivada parcial de uma aplicação como sendo

👁 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(x)=Df(x)e_{j}.}

Podemos repensar nessa igualdade. Se observarmos que 👁 {\displaystyle e_{j}x}
corresponde à 👁 {\displaystyle j}
-ésima coordenada de 👁 {\displaystyle x}
e que a 👁 {\displaystyle j}
-ésima coordenada de 👁 {\displaystyle \nabla f(z_{0})}
é 👁 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(z_{0})}
segue que 👁 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(z_{0})=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{j}}}(z_{0}),\cdots ,{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{j}}}(z_{0})\right)}

• Agudo, F. R. Dias, Análise Real (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994
• Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada
• Ostrowski, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral (3 volumes), Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1981
• Ricieri, A. P., Derivada Fracionária, Transformada de Laplace e outros bichos, Prandiano, 1993, S. José dos Campos - SP - Brasil.