Na matemática, o fatorial (AO 1945: factorial) de um número naturaln, denotado porn!, é o produto de todos os naturais menores ou iguais a n. O fatorial de n também é igual ao produto de n e o fatorial de seu antecessor: 👁 {\displaystyle {\begin{aligned}n!&=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times \cdots \times 3\times 2\times 1\\&=n\times (n-1)!\\\end{aligned}}}
Por exemplo, 👁 {\displaystyle 5!=5\times 4!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120.}
O valor de 0! é 1, conforme a convenção para um produto vazio.^[1]

Fatoriais foram descobertos em diversas culturas antigas, notavelmente na matemática indiana, nas obras canônicas da literatura de Jain, e por míticos judeus no livro Talmude Sêfer Yetzirá. A operação fatorial é encontrada em diversas áreas da matemática, notavelmente na combinatória, onde seu uso mais básico é contar as diferentes sequências possíveis — as permutações — de n distintos objetos: existemn!. Na análise matemática, fatoriais são usados nas série de potências para a função exponencial e outras funções. Eles também possuem aplicações na álgebra, teoria dos números, teoria das probabilidades e ciência da computação.

Muita da matemática das funções fatoriais começou a ser desenvolvida no final do século XVIII e início do XIX. A aproximação de Stirling gera uma aproximação precisa para fatoriais de números grandes, mostrando que ele cresce mais rápido que o crescimento exponencial. A fórmula de Legendre descreve os exponentes de números primos numa decomposição em fatores primos dos fatoriais, e pode ser utilizada para contar os zeros à direita dos fatoriais. Daniel Bernoulli e Leonhard Euler interpolaram a função fatorial para uma função contínua de números complexos, exceto nos inteiros negativos, chamada de função gama (deslocada).

Várias outras funções e sequências numéricas importantes estão intimamente relacionadas aos fatoriais, incluindo os coeficientes binomiais, duplos fatoriais, primoriais e subfatoriais. Implementações da função fatorial são comumente usadas como exemplo de diferentes estilos de programação de computadores e estão incluídas em calculadoras científicas e bibliotecas de software de computação científica. Embora calcular diretamente fatoriais grandes usando a fórmula do produto ou recorrência não seja eficiente, algoritmos mais rápidos são conhecidos, combinando, num fator constante, o tempo para algoritmos de multiplicação rápidos para números com o mesmo número de dígitos.

A função fatorial é normalmente definida por:

👁 {\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 3\times 2\times 1,\qquad \forall n\in \mathbb {N} }

Por exemplo, 👁 {\displaystyle 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120}
. Como o fatorial de um número é uma multiplicação de 1 até 👁 {\displaystyle n}
, 👁 {\displaystyle n!}
, pode ser definido pelo produto de 👁 {\displaystyle n}
com o fatorial de seu antecessor. Logo, 👁 {\displaystyle 5!=5\times 4!=120}
. De forma geral:

👁 {\displaystyle n!=n\times (n-1)!}

que pode ser reescrito da seguinte forma:

👁 {\displaystyle (n-1)!={\frac {n!}{n}}}

Portanto:

👁 {\displaystyle 3!={\frac {4!}{4}}={\frac {4\times 3!}{4}}=6}

👁 {\displaystyle 2!={\frac {3!}{3}}={\frac {3\times 2!}{3}}=2}

👁 {\displaystyle 1!={\frac {2!}{2}}={\frac {2\times 1}{2}}=1}

Esta definição implica em particular que 👁 {\displaystyle 0!=1}
, pois

👁 {\displaystyle 0!={\frac {1!}{1}}={\frac {1}{1}}=1}

A função fatorial também pode ser definida (inclusive para não-inteiros) através da função gama:

👁 {\displaystyle z!=\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt}

A sequência dos fatoriais (sequência A000142 na OEIS) para n=0, 1, 2,... começa com:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5 040, 40 320, 362 880, 3 628 800...

Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo coeficiente binomial. Veja também binômio de Newton.

👁 {\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}.}

Os fatoriais também aparecem em cálculo. Por exemplo, no teorema de Taylor, que expressa a função f(x) como uma série de série de potências em x. A razão principal é que o n derivativo de xⁿ é n!. Os fatoriais também são usados extensamente na teoria da probabilidade.

Os fatoriais são também frequentemente utilizados como exemplos simplificados de recursividade, em ciência da computação, porque satisfazem as seguintes relações recursivas: (se n ≥ 1):

n! = n(n − 1)!

O valor numérico de n! pode ser calculado por multiplicação repetida se n não for grande demais. É isto que as calculadoras fazem. O maior fatorial, que a maioria das calculadoras suportam é 69!, porque 70!>10¹⁰⁰.

Quando n é grande demais, n! pode ser calculado com uma boa precisão usando a aproximação de Stirling:

👁 {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}

Esta é uma versão simplificada que pode ser provada usando a matemática básica do ensino secundário; a ferramenta essencial é a indução matemática. Esta é aqui apresentada na forma de um exercício:

👁 {\displaystyle \left({n \over 3}\right)^{n}<n!<\left({n \over 2}\right)^{n}\ {\mbox{se}}\ n\geq 6.}

O logaritmo de um fatorial pode ser usado para calcular o número de dígitos que a base de um fatorial irá ocupar. ln(n!) pode ser facilmente calculado da seguinte forma:

👁 {\displaystyle \ln(n!)=\sum _{k=1}^{n}{\ln(k)}}

Note que esta função, demonstrada graficamente, é quase linear para valores baixos; mas o fator 👁 {\displaystyle {\ln(n!)} \over n}
cresce de maneira arbitrária, embora vagarosa. Por exemplo, este é o gráfico de seus primeiros 20 mil valores:

👁 {\displaystyle \ln(n!)\approx n\ln(n)-n+{\frac {\ln(n)}{2}}+{\frac {\ln(2\pi )}{2}}.}

Uma boa aproximação para ln(n!) é fazer o logaritmo da fórmula de Stirling.

A potência de p que ocorre na fatoração prima de n! é

👁 {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor }

Esta fórmula permite que fatoriais grandes sejam fatorados eficientemente.

O Teorema de Wilson diz que (p-1)! + 1 é um múltiplo de p se, e somente se, p for um número primo.

Um exemplo clássico do cálculo de fatorial na linguagem de programação C/Java

intfatorial(intnumero){
returnnumero==0?1:numero*fatorial(numero-1);
}

intfatorial(intnumero){
intresultado=numero;
if(numero==0)resultado++;
while(numero>1)resultado*=--numero;
returnresultado;
}

• Função digama
• Função gama
• Fórmula de Stirling
• Desarranjo
• Número triangular

• «Guia de referencia para o factorial n! (em inglês)»
• «Algoritmos interessantes»
• «Cálculo do fatorial (N≤40000)»

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